Мы начинаем с попытки решить систему из двух уравнений, но подстановка целых и действительных чисел выявляет дилемму: ответы всегда как будто расходятся далеко друг от друга. Отрицательные числа тоже не помогают, поскольку никакие два отрицательных числа не дают при умножении положительного результата, способного компенсировать эту разницу.
Поэтому мы обращаемся к алгебре. Выражаем y из первого уравнения, подставляем во второе, раскрываем скобки и приводим результат к стандартному квадратному виду. Полученный график никогда не пересекает ось x в нуле, что указывает на отсутствие действительного решения. Применение формулы корней квадратного уравнения подтверждает проблему: появляется квадратный корень из отрицательного числа (-108), с которым система действительных чисел не может работать. Мы упёрлись в стену.
Эта же стена остановила итальянского математика Джироламо Кардано в 1545 году. Разрабатывая общие решения кубических уравнений, он обнаружил, что даже когда уравнение давало реальный, осязаемый ответ, алгебраический путь заставлял его вычислять квадратный корень из отрицательного числа. В Ars Magna, опубликованной в том же году, он предложил читателям разделить 10 на две части, произведение которых равно 40.
Применение формулы корней квадратного уравнения к этой задаче дало корень -15, что казалось невозможным почти всем математикам того времени. Кардано обнаружил, что если упорно следовать стандартным правилам алгебры с этими запретными величинами, мнимые части в конце концов исчезают, оставляя совершенно точное действительное решение. Это открытие открыло дорогу комплексным числам.
Источник: Hacker News · Сводку подготовил HeadlinesBriefing