Começamos tentando resolver um sistema de duas equações, mas ao substituir números inteiros e reais surge um dilema: as respostas parecem sempre se afastar umas das outras. Os números negativos também não ajudam, pois nenhum par de negativos se multiplica para dar um resultado positivo capaz de compensar a diferença.
Então recorremos à álgebra. Isolamos y na primeira equação, substituímos na segunda, expandimos e reescrevemos o resultado na forma quadrática padrão. O gráfico resultante nunca cruza o zero no eixo x, o que sugere que a equação não tem solução real. Aplicar a fórmula de Bhaskara confirma o problema: surge a raiz quadrada de um número negativo (-108), que o sistema dos números reais não consegue tratar. Chegamos a um impasse.
Esse mesmo impasse deteve o matemático italiano Gerolamo Cardano em 1545. Ao desenvolver soluções gerais para equações cúbicas, ele descobriu que, mesmo quando uma equação produzia uma resposta real e tangível, o caminho algébrico o forçava a calcular a raiz quadrada de um número negativo. Em Ars Magna, publicada naquele mesmo ano, ele pediu aos leitores que dividissem 10 em duas partes cujo produto fosse 40.
Aplicar a fórmula quadrática a esse problema produziu uma raiz de -15, algo que pareceu impossível a quase todos os matemáticos de sua época. Cardano descobriu que, se seguisse teimosamente as regras padrão da álgebra com essas quantidades proibidas, as partes imaginárias acabariam desaparecendo, deixando uma solução real perfeitamente exata. Essa descoberta abriu a porta para os números complexos.
Fonte: Hacker News · Resumido por HeadlinesBriefing