हम दो समीकरणों के एक तंत्र को हल करने का प्रयास करके शुरू करते हैं, लेकिन पूर्ण और वास्तविक संख्याएँ डालने पर एक दुविधा सामने आती है: उत्तर हमेशा एक-दूसरे से काफ़ी दूर जाते दिखते हैं। ऋणात्मक संख्याएँ भी मदद नहीं करतीं, क्योंकि कोई भी दो ऋणात्मक संख्याएँ ऐसा धनात्मक परिणाम नहीं देतीं जो इस अंतर को संतुलित कर सके।
इसलिए हम बीजगणित की ओर मुड़ते हैं। हम पहले समीकरण को y के लिए हल करने हेतु पुनर्व्यवस्थित करते हैं, उसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, विस्तार करते हैं, और परिणाम को मानक द्विघात रूप में लिखते हैं। प्राप्त आलेख x-अक्ष को कभी शून्य पर नहीं काटता, जो बताता है कि इस समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है। द्विघात सूत्र लगाने पर यह समस्या पक्की हो जाती है: ऋणात्मक संख्या (-108) का वर्गमूल सामने आता है, जिसे वास्तविक संख्या प्रणाली संभाल नहीं सकती। हम एक दीवार से टकरा गए हैं।
यही दीवार 1545 में इतालवी गणितज्ञ Gerolamo Cardano के सामने भी आई थी। घन समीकरणों के सामान्य हल विकसित करते समय उन्होंने पाया कि भले ही कोई समीकरण एक वास्तविक, ठोस उत्तर दे, फिर भी बीजगणितीय मार्ग उन्हें ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल निकालने पर मजबूर करता है। उसी वर्ष प्रकाशित Ars Magna में उन्होंने पाठकों से कहा कि 10 को दो ऐसे भागों में बाँटें जिनका गुणनफल 40 हो।
उस समस्या पर द्विघात सूत्र लगाने से -15 का मूल मिला, जो उनके समय के लगभग हर गणितज्ञ को असंभव लगा। Cardano ने पाया कि यदि वे इन वर्जित राशियों के साथ बीजगणित के मानक नियमों का हठपूर्वक पालन करें, तो काल्पनिक भाग अंततः लुप्त हो जाते हैं और एक पूर्णतः सटीक वास्तविक हल बच जाता है। इस खोज ने जटिल संख्याओं का द्वार खोल दिया।
स्रोत: Hacker News · HeadlinesBriefing द्वारा सारांशित