Wir beginnen mit dem Versuch, ein System aus zwei Gleichungen zu lösen, doch beim Einsetzen ganzer und reeller Zahlen zeigt sich ein Dilemma: Die Antworten scheinen sich immer weit voneinander zu entfernen. Auch negative Zahlen helfen nicht weiter, denn kein Paar negativer Zahlen ergibt beim Multiplizieren ein positives Ergebnis, das den Unterschied ausgleichen könnte.
Deshalb wenden wir uns der Algebra zu. Wir formen die erste Gleichung so um, dass wir y erhalten, setzen sie in die zweite ein, multiplizieren aus und schreiben das Ergebnis in die übliche quadratische Form. Der entstehende Graph schneidet die x-Achse nie bei null, was darauf hindeutet, dass die Gleichung keine reelle Lösung besitzt. Die Anwendung der quadratischen Formel bestätigt das Problem: Es tritt die Quadratwurzel einer negativen Zahl (-108) auf, mit der das System der reellen Zahlen nicht umgehen kann. Wir sind gegen eine Wand gestoßen.
Dieselbe Wand brachte den italienischen Mathematiker Gerolamo Cardano im Jahr 1545 zum Stillstand. Bei der Entwicklung allgemeiner Lösungen für kubische Gleichungen stellte er fest, dass selbst dann, wenn eine Gleichung eine reelle, greifbare Antwort lieferte, der algebraische Weg ihn zwang, die Quadratwurzel einer negativen Zahl zu berechnen. In der im selben Jahr erschienenen Ars Magna bat er seine Leser, 10 in zwei Teile zu zerlegen, deren Produkt 40 ergibt.
Die Anwendung der quadratischen Formel auf dieses Problem lieferte eine Wurzel von -15, was nahezu jedem Mathematiker seiner Zeit unmöglich erschien. Cardano entdeckte, dass sich die imaginären Anteile schließlich aufheben, wenn man hartnäckig den üblichen Algebraregeln mit diesen verbotenen Größen folgt, und eine völlig korrekte reelle Lösung übrig bleibt. Diese Entdeckung öffnete die Tür zu den komplexen Zahlen.
Quelle: Hacker News · Zusammengefasst von HeadlinesBriefing