まず二つの方程式からなる連立方程式を解こうとしますが、整数や実数を代入すると、ある問題が浮かび上がります。答えはいつもかけ離れているように見えるのです。負の数も助けにはなりません。二つの負の数をかけても、その差を埋められるような正の結果は得られないからです。
そこで代数に目を向けます。最初の式をyについて解き、二つ目の式に代入して展開し、結果を標準的な二次形式に書き直します。得られたグラフはx軸と交わることがなく、この方程式に実数解がないことを示唆しています。二次方程式の解の公式を適用すると、その問題がはっきりします。負の数(-108)の平方根が現れ、実数の体系ではこれを扱えないのです。私たちは壁にぶつかりました。
この同じ壁に、1545年、イタリアの数学者ジロラモ・カルダーノも行く手を阻まれました。三次方程式の一般解を導く過程で、彼は、方程式が実在する明確な答えを与える場合でも、代数的な道筋では負の数の平方根を計算せざるを得ないことに気づきました。同じ年に出版された『アルス・マグナ』で、彼は読者に、積が40になる二つの部分に10を分けるよう問いかけています。
この問題に二次方程式の解の公式を適用すると、-15という根が得られました。これは当時のほぼすべての数学者にとって不可能に思えるものでした。カルダーノは、こうした禁じられた量に対して代数の標準的な規則を頑なに適用し続けると、虚数部分は最終的に消え、完全に正確な実数解が残ることを発見しました。この発見が複素数への扉を開いたのです。
出典: Hacker News · 要約：HeadlinesBriefing