আমরা দুটি সমীকরণের একটি ব্যবস্থা সমাধান করার চেষ্টা দিয়ে শুরু করি, কিন্তু পূর্ণ ও বাস্তব সংখ্যা বসালে একটি দ্বিধা দেখা দেয়: উত্তরগুলো যেন সর্বদা একে অপরের থেকে দূরে সরে যায়। ঋণাত্মক সংখ্যাও সাহায্য করে না, কারণ এমন কোনো দুটি ঋণাত্মক সংখ্যা নেই যাদের গুণফল এমন ধনাত্মক ফল দেয় যা এই পার্থক্যকে সমন্বয় করতে পারে।
তাই আমরা বীজগণিতের দিকে ফিরি। প্রথম সমীকরণটিকে y-এর জন্য সাজাই, তা দ্বিতীয়টিতে বসাই, বিস্তার করি এবং ফলাফলটিকে আদর্শ দ্বিঘাত আকারে লিখি। প্রাপ্ত লেখচিত্র x-অক্ষকে কখনো শূন্যে ছেদ করে না, যা ইঙ্গিত দেয় যে এই সমীকরণের কোনো বাস্তব সমাধান নেই। দ্বিঘাত সূত্র প্রয়োগ সমস্যাটি নিশ্চিত করে: একটি ঋণাত্মক সংখ্যার (-108) বর্গমূল আসে, যা বাস্তব সংখ্যা ব্যবস্থা সামলাতে পারে না। আমরা একটি দেয়ালে ঠেকে গেছি।
এই একই দেয়ালে ১৫৪৫ সালে ইতালীয় গণিতবিদ Gerolamo Cardano থমকে গিয়েছিলেন। ঘন সমীকরণের সাধারণ সমাধান উদ্ভাবনের সময় তিনি দেখেন, একটি সমীকরণ বাস্তব, স্পষ্ট উত্তর দিলেও বীজগণিতীয় পথ তাঁকে একটি ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূল গণনা করতে বাধ্য করে। একই বছর প্রকাশিত Ars Magna-তে তিনি পাঠকদের বলেন, ১০-কে এমনভাবে দুটি অংশে ভাগ করতে, যাদের গুণফল ৪০ হয়।
সেই সমস্যায় দ্বিঘাত সূত্র প্রয়োগ করে -১৫ মূল পাওয়া যায়, যা তাঁর সময়ের প্রায় প্রতিটি গণিতবিদের কাছে অসম্ভব মনে হয়েছিল। Cardano আবিষ্কার করেন যে, এই নিষিদ্ধ রাশিগুলোর সঙ্গে বীজগণিতের আদর্শ নিয়ম একগুঁয়েভাবে মেনে চললে কাল্পনিক অংশগুলো শেষ পর্যন্ত বিলুপ্ত হয়ে যায়, এবং একটি নিখুঁত বাস্তব সমাধান অবশিষ্ট থাকে। এই আবিষ্কার জটিল সংখ্যার পথ খুলে দেয়।
উৎস: Hacker News · সারাংশ: HeadlinesBriefing