Wir teilen eine Lösung des Existenz- und Glattheitsproblems von Navier–Stokes, eines der Millennium-Preisprobleme. Dieser Beweis, der von einem internen OpenAI-System erzeugt wurde, zeigt, dass die Dynamik der Navier-Stokes-Gleichungen für Fluidbewegung in endlicher Zeit eine Singularität entwickeln kann. Wir teilen sowohl eine schriftliche Ausarbeitung des Beweises als auch eine Formalisierung in Lean.

Die Millennium-Preisprobleme repräsentieren einige der tiefsten Fragen an der Grenze der Mathematik. Die Frage, ob glatte dreidimensionale Fluidbewegung zusammenbrechen kann, blieb etwa 90 Jahre lang ungelöst. Ein Hauptziel unserer Arbeit ist es, Wissenschaftler zu befähigen, Forschung und Technologie voranzutreiben, die der gesamten Menschheit zugutekommt. Um das Navier–Stokes-Problem zu lösen, verwendeten wir ein internes Modell, das deutlich leistungsfähiger ist als GPT-6 Astra.

Die Navier–Stokes-Gleichungen verwenden Newtons zweites Bewegungsgesetz („F=ma“), um zu beschreiben, wie sich Fluide bewegen. Sie behandeln ein Fluid als kontinuierliches Medium, anstatt einzelne Moleküle zu verfolgen. Diese Gleichungen werden für Flugzeugdesign, Wettervorhersage und die Untersuchung des Blutflusses verwendet. Eine grundlegende offene Frage war, ob die Kontinuumsnäherung zusammenbrechen kann. Konkret: Können die Gleichungen für ein dreidimensionales inkompressibles Fluid mit konstanter Dichte eine „Singularität“ entwickeln, selbst wenn die Bewegung glatt beginnt? Hier bedeutet eine Singularität, dass die Dynamik zu Geschwindigkeiten führt, die innerhalb einer endlichen Zeit unbegrenzt wachsen. Die Entwicklung einer Singularität müsste trotz der Anwesenheit von Viskosität geschehen, die dazu neigt, Bewegung zu glätten. Da sich ein reales Fluid nicht unendlich schnell bewegen kann, würde dies einen Zusammenbruch der Art und Weise markieren, wie die Gleichungen das Fluid modellieren. Die Gleichungen gehen auf die Arbeit des 19. Jahrhunderts von Claude-Louis Navier und George Gabriel Stokes zurück. Im Jahr 1934 bewies Jean Leray, dass Lösungen in einem verallgemeinerten Sinne existieren, aber ob sie immer glatt bleiben, wurde zu einer zentralen unbeantworteten Frage. Im Jahr 2000 benannte das Clay Mathematics Institute das Existenz- und Glattheitsproblem von Navier–Stokes als eines von sieben Millennium-Preisproblemen.

Unser System erzeugte einen analytischen Beweis und eine Lean-Formalisierung, dass ein anfangs glattes Fluid in Ruhe in endlicher Zeit eine Singularität entwickeln kann. Auf das Fluid wirkt eine glatte Kraft, und seine Energie bleibt während der gesamten Dynamik endlich, von der Ruhe bis zur Bildung der Singularität. Dies löst das Navier–Stokes-Millennium-Preisproblem, indem es Aussage „C“ (und auch „D“) in der offiziellen Millennium-Preisformulierung etabliert. Die Lösung ist ein Wirbel, ein rotierender Strudel aus Fluid, der sich nach innen spiralt und zunehmend verlängert, wie Spaghetti.

Wichtige Entitäten: Unternehmen: OpenAI, Clay Mathematics Institute | Personen: Claude-Louis Navier, George Gabriel Stokes, Jean Leray