Nous partageons une solution au problème d’existence et de régularité de Navier–Stokes, l’un des problèmes du prix du millénaire. Cette preuve, produite par un système interne d’OpenAI, montre que la dynamique des équations de Navier-Stokes pour le mouvement des fluides peut développer une singularité en temps fini. Nous partageons à la fois un écrit de la preuve et une formalisation en Lean.

Les problèmes du prix du millénaire représentent certaines des questions les plus profondes à la frontière des mathématiques. La question de savoir si un mouvement fluide tridimensionnel régulier peut s’effondrer est restée non résolue pendant environ 90 ans. Un objectif majeur de notre travail est de donner aux scientifiques les moyens de faire progresser la recherche et la technologie au bénéfice de toute l’humanité. Pour résoudre le problème de Navier–Stokes, nous avons utilisé un modèle interne nettement plus capable que GPT-6 Astra.

Les équations de Navier–Stokes utilisent la deuxième loi du mouvement de Newton (« F=ma ») pour décrire comment les fluides se déplacent. Elles traitent un fluide comme un milieu continu plutôt que de suivre des molécules individuelles. Ces équations sont utilisées pour la conception d’aéronefs, la prévision météorologique et l’étude de la circulation sanguine. Une question ouverte fondamentale a été de savoir si l’approximation du continu peut s’effondrer. Plus précisément, les équations pour un fluide tridimensionnel incompressible à densité constante peuvent-elles développer une « singularité », même lorsque le mouvement commence de manière régulière ? Ici, une singularité signifie que la dynamique conduit à des vitesses croissant sans borne en un temps fini. Le développement d’une singularité devrait se produire malgré la présence de viscosité, qui tend à lisser le mouvement. Comme un fluide réel ne peut pas se déplacer infiniment vite, cela marquerait une rupture dans la façon dont les équations modélisent le fluide. Les équations remontent aux travaux du XIXe siècle de Claude-Louis Navier et George Gabriel Stokes. En 1934, Jean Leray a prouvé que des solutions existent en un sens généralisé, mais la question de savoir si elles restent toujours régulières est devenue une question centrale sans réponse. En 2000, le Clay Mathematics Institute a désigné le problème d’existence et de régularité de Navier–Stokes comme l’un des sept problèmes du prix du millénaire.

Notre système a produit une preuve analytique et une formalisation en Lean qu’un fluide initialement régulier au repos peut développer une singularité en un temps fini. Le fluide subit une force régulière, et son énergie reste finie tout au long de la dynamique, du repos à la formation de la singularité. Cela résout le problème du prix du millénaire de Navier–Stokes en établissant l’énoncé « C » (et aussi « D ») dans la formulation officielle du prix du millénaire. La solution est un vortex, un tourbillon de fluide, qui spirale vers l’intérieur et s’allonge de plus en plus, comme des spaghettis.

Entités clés : Entreprises : OpenAI, Clay Mathematics Institute | Personnes : Claude-Louis Navier, George Gabriel Stokes, Jean Leray

FAQ : Qu’est-ce que le problème du prix du millénaire de Navier–Stokes ?

Il demande si les solutions des équations de Navier–Stokes pour le mouvement des fluides restent toujours régulières en trois dimensions, ou si elles peuvent développer des singularités en temps fini.

FAQ Q : Qu’est-ce que le problème du prix du millénaire de Navier–Stokes ?

FAQ A : Il demande si les solutions des équations de Navier–Stokes pour le mouvement des fluides restent toujours régulières en trois dimensions, ou si elles peuvent développer des singularités en temps fini.