نشارك حلًا لمسألة الوجود والنعومة لنافيير–ستوكس، إحدى مسائل جائزة الألفية. هذا البرهان، الذي أنتجه نظام داخلي من OpenAI، يُظهر أن ديناميكيات معادلات نافيير-ستوكس لحركة السوائل يمكن أن تُطوّر تفردًا في زمن منتهٍ. نشارك كلاً من كتابة للبرهان وصياغة رسمية في Lean.

تمثل مسائل جائزة الألفية بعضًا من أعمق الأسئلة على حدود الرياضيات. ظل سؤال ما إذا كانت حركة السوائل ثلاثية الأبعاد الناعمة يمكن أن تنهار دون حل لنحو 90 عامًا. أحد الأهداف الرئيسية لعملنا هو تمكين العلماء من دفع البحث والتكنولوجيا التي تفيد البشرية جمعاء. لحل مسألة نافيير–ستوكس، استخدمنا نموذجًا داخليًا أكثر قدرة بكثير من GPT-6 Astra.

تستخدم معادلات نافيير–ستوكس قانون نيوتن الثاني للحركة (“F=ma”) لوصف كيفية تحرك السوائل. وهي تعامل السائل كوسط متصل بدلًا من تتبع الجزيئات الفردية. تُستخدم هذه المعادلات في تصميم الطائرات، والتنبؤ بالطقس، ودراسة تدفق الدم. كان أحد الأسئلة المفتوحة الأساسية هو ما إذا كان تقريب الوسط المتصل يمكن أن ينهار. وتحديدًا، هل يمكن لمعادلات سائل ثلاثي الأبعاد غير قابل للانضغاط بكثافة ثابتة أن تُطوّر “تفردًا”، حتى عندما تبدأ الحركة بسلاسة؟ هنا، يعني التفرد أن الديناميكيات تؤدي إلى سرعات تنمو بلا حدود خلال زمن منتهٍ. سيتعين أن يحدث تطور التفرد رغم وجود اللزوجة، التي تميل إلى تنعيم الحركة. ولأن سائلًا حقيقيًا لا يمكن أن يتحرك بسرعة لا نهائية، فسيمثل ذلك انهيارًا في كيفية نمذجة المعادلات للسائل. تعود هذه المعادلات إلى عمل القرن التاسع عشر لـ Claude-Louis Navier وGeorge Gabriel Stokes. في عام 1934، أثبت Jean Leray وجود حلول بمعنى معمم، لكن ما إذا كانت تبقى دائمًا ناعمة أصبح سؤالًا مركزيًا بلا إجابة. في عام 2000، أدرج Clay Mathematics Institute مسألة الوجود والنعومة لنافيير–ستوكس ضمن سبع مسائل لجائزة الألفية.

أنتج نظامنا برهانًا تحليليًا وصياغة رسمية في Lean بأن سائلًا ناعمًا في البداية وساكنًا يمكن أن يُطوّر تفردًا في زمن منتهٍ. يخضع السائل لقوة ناعمة، وتبقى طاقته منتهية طوال الديناميكيات بأكملها، من السكون إلى تكوّن التفرد. وهذا يحل مسألة نافيير–ستوكس لجائزة الألفية بإثبات العبارة “C” (وأيضًا “D”) في الصياغة الرسمية لجائزة الألفية. الحل هو دوامة، أي حركة دوران للسائل، تلتف إلى الداخل وتزداد استطالة، مثل السباغيتي.

الكيانات الرئيسية: الشركات: OpenAI، Clay Mathematics Institute | الأشخاص: Claude-Louis Navier، George Gabriel Stokes، Jean Leray