Мы делимся решением проблемы существования и гладкости Навье–Стокса, одной из проблем тысячелетия. Это доказательство, полученное внутренней системой OpenAI, показывает, что динамика уравнений Навье-Стокса для движения жидкости может развить сингулярность за конечное время. Мы делимся как письменным изложением доказательства, так и формализацией в Lean.

Проблемы тысячелетия представляют некоторые из самых глубоких вопросов на переднем крае математики. Вопрос о том, может ли гладкое трёхмерное движение жидкости разрушиться, оставался нерешённым около 90 лет. Основная цель нашей работы — дать учёным возможность продвигать исследования и технологии, приносящие пользу всему человечеству. Чтобы решить проблему Навье–Стокса, мы использовали внутреннюю модель, значительно более способную, чем GPT-6 Astra.

Уравнения Навье–Стокса используют второй закон движения Ньютона («F=ma») для описания того, как движутся жидкости. Они рассматривают жидкость как сплошную среду, а не отслеживают отдельные молекулы. Эти уравнения используются для проектирования самолётов, прогнозирования погоды и изучения кровотока. Фундаментальным открытым вопросом было то, может ли приближение сплошной среды разрушиться. В частности, могут ли уравнения для трёхмерной несжимаемой жидкости с постоянной плотностью развить «сингулярность», даже когда движение начинается гладко? Здесь сингулярность означает, что динамика приводит к скоростям, растущим неограниченно за конечное время. Развитие сингулярности должно было бы произойти несмотря на наличие вязкости, которая стремится сгладить движение. Поскольку реальная жидкость не может двигаться бесконечно быстро, это означало бы разрушение того, как уравнения моделируют жидкость. Уравнения восходят к работе XIX века Claude-Louis Navier и George Gabriel Stokes. В 1934 году Jean Leray доказал, что решения существуют в обобщённом смысле, но вопрос о том, всегда ли они остаются гладкими, стал центральным нерешённым вопросом. В 2000 году Clay Mathematics Institute назвал проблему существования и гладкости Навье–Стокса одной из семи проблем тысячелетия.

Наша система создала аналитическое доказательство и формализацию в Lean того, что изначально гладкая жидкость в состоянии покоя может развить сингулярность за конечное время. К жидкости приложена гладкая сила, и её энергия остаётся конечной на протяжении всей динамики, от покоя до образования сингулярности. Это решает проблему тысячелетия Навье–Стокса, устанавливая утверждение «C» (а также «D») в официальной формулировке проблемы тысячелетия. Решение — это вихрь, вращающийся поток жидкости, который закручивается внутрь и становится всё более вытянутым, как спагетти.

Ключевые сущности: Компании: OpenAI, Clay Mathematics Institute | Люди: Claude-Louis Navier, George Gabriel Stokes, Jean Leray