私たちは、ミレニアム懸賞問題の一つであるナビエ–ストークスの存在と滑らかさ問題の解決策を共有します。この証明は、OpenAIの内部システムによって生成され、流体運動のナビエ-ストークス方程式の力学が有限時間で特異点を発達させうることを示しています。私たちは証明の解説とLeanによる形式化の両方を共有します。

ミレニアム懸賞問題は、数学の最前線における最も深遠な問いの一部を表しています。滑らかな3次元流体運動が破綻しうるかという問いは、約90年間未解決のままでした。私たちの仕事の主要な目標は、科学者が全人類に利益をもたらす研究と技術を前進させる力を与えることです。ナビエ–ストークス問題を解決するために、私たちはGPT-6 Astraよりも大幅に能力の高い内部モデルを使用しました。

ナビエ–ストークス方程式は、ニュートンの運動の第2法則（「F=ma」）を用いて流体がどのように動くかを記述します。それらは個々の分子を追跡するのではなく、流体を連続体として扱います。これらの方程式は、航空機設計、天気予報、血流の研究に使用されています。根本的な未解決問題は、連続体近似が破綻しうるかどうかでした。具体的には、一定密度の3次元非圧縮性流体の方程式は、運動が滑らかに始まっても「特異点」を発達させうるのでしょうか。ここで特異点とは、力学が有限時間内に速度を無制限に増大させることを意味します。特異点の発達は、運動を滑らかにする傾向のある粘性の存在にもかかわらず起こらなければなりません。実際の流体は無限に速く動くことはできないため、これは方程式が流体をモデル化する方法の破綻を示すことになります。方程式は19世紀のClaude-Louis NavierとGeorge Gabriel Stokesの仕事にさかのぼります。1934年、Jean Lerayは一般化された意味で解が存在することを証明しましたが、それらが常に滑らかであり続けるかどうかは中心的な未解決問題となりました。2000年、Clay Mathematics Instituteはナビエ–ストークスの存在と滑らかさ問題を7つのミレニアム懸賞問題の一つに指定しました。

私たちのシステムは、静止した初期に滑らかな流体が有限時間で特異点を発達させうるという解析的証明とLean形式化を生成しました。流体には滑らかな力が加えられ、そのエネルギーは静止から特異点の形成までの力学全体を通じて有限のままです。これは、公式のミレニアム懸賞問題の定式化における命題「C」（および「D」）を確立することにより、ナビエ–ストークス・ミレニアム懸賞問題を解決します。解は渦、つまり流体の回転する渦巻きであり、内側へ螺旋状に進み、スパゲッティのようにますます細長くなります。

主要な実体：企業：OpenAI、Clay Mathematics Institute | 人物：Claude-Louis Navier、George Gabriel Stokes、Jean Leray

FAQ：ナビエ–ストークス・ミレニアム懸賞問題とは何ですか？

それは、流体運動のナビエ–ストークス方程式の解が3次元で常に滑らかであり続けるのか、それとも有限時間で特異点を発達させうるのかを問います。

FAQ Q：ナビエ–ストークス・ミレニアム懸賞問題とは何ですか？

FAQ A：それは、流体運動のナビエ–ストークス方程式の解が3次元で常に滑らかであり続けるのか、それとも有限時間で特異点を発達させうるのかを問います。