Estamos compartilhando uma solução para o problema de existência e suavidade de Navier–Stokes, um dos Problemas do Prêmio do Milênio. Esta prova, produzida por um sistema interno da OpenAI, mostra que a dinâmica das equações de Navier-Stokes para o movimento de fluidos pode desenvolver uma singularidade em tempo finito. Estamos compartilhando tanto um texto da prova quanto uma formalização em Lean.

Os Problemas do Prêmio do Milênio representam algumas das questões mais profundas na fronteira da matemática. A questão de saber se o movimento de fluido tridimensional suave pode se romper permaneceu sem solução por cerca de 90 anos. Um dos principais objetivos do nosso trabalho é capacitar cientistas a avançar pesquisas e tecnologias que beneficiem toda a humanidade. Para resolver o problema de Navier–Stokes, usamos um modelo interno significativamente mais capaz que o GPT-6 Astra.

As equações de Navier–Stokes usam a segunda lei do movimento de Newton (“F=ma”) para descrever como os fluidos se movem. Elas tratam um fluido como um meio contínuo em vez de rastrear moléculas individuais. Essas equações são usadas para projeto de aeronaves, previsão do tempo e estudo do fluxo sanguíneo. Uma questão aberta fundamental tem sido se a aproximação contínua pode se romper. Especificamente, as equações para um fluido tridimensional incompressível com densidade constante podem desenvolver uma “singularidade”, mesmo quando o movimento começa suavemente? Aqui, uma singularidade significa que a dinâmica leva a velocidades crescendo sem limite dentro de um tempo finito. O desenvolvimento de uma singularidade teria que acontecer apesar da presença de viscosidade, que tende a suavizar o movimento. Como um fluido real não pode se mover infinitamente rápido, isso marcaria uma ruptura em como as equações modelam o fluido. As equações remontam ao trabalho do século XIX de Claude-Louis Navier e George Gabriel Stokes. Em 1934, Jean Leray provou que soluções existem em um sentido generalizado, mas se elas sempre permanecem suaves tornou-se uma questão central sem resposta. Em 2000, o Clay Mathematics Institute nomeou o problema de existência e suavidade de Navier–Stokes como um dos sete Problemas do Prêmio do Milênio.

Nosso sistema produziu uma prova analítica e uma formalização em Lean de que um fluido inicialmente suave em repouso pode desenvolver uma singularidade em um tempo finito. O fluido tem uma força suave aplicada a ele, e sua energia permanece finita durante toda a dinâmica, do repouso à formação da singularidade. Isso resolve o problema do Prêmio do Milênio de Navier–Stokes ao estabelecer o enunciado “C” (e também “D”) na formulação oficial do Prêmio do Milênio. A solução é um vórtice, um redemoinho giratório de fluido, que espirala para dentro e se torna cada vez mais alongado, como espaguete.

Entidades-chave: Empresas: OpenAI, Clay Mathematics Institute | Pessoas: Claude-Louis Navier, George Gabriel Stokes, Jean Leray