L'article traite de l'amélioration de la borne inférieure de s(17), le côté du plus petit carré dans lequel 17 carrés unitaires peuvent être rangés. John Bidwell a trouvé en 1998 que s(17)≤4.6756…, tandis que Trevor Green a prouvé en 2000 que 4.4452…≤s(17) en utilisant 16 points inévitables dans une grille de 4×6. Sam Burns a récemment amélioré la borne inférieure à 4.4811(?) en utilisant 268 points pondérés avec l'aide de ChatGPT. Le travail actuel améliore encore ce résultat à 4.5058(?)≤s(17) en utilisant 168 points dans une grille de 29×29 avec une optimisation par programmation linéaire. La nouvelle solution présente une marge vide de 0.77565 et un côté de grille interne de 3.9545. Chaque carré unitaire doit inclure au moins un point pondéré, garantissant que le placement de 17 carrés force le chevauchement. Cela améliore automatiquement les bornes inférieures de s(18), s(19) et s(20). Les travaux futurs incluent l'exploration de grilles plus grandes et la recherche de versions non symétriques.
La méthode consiste à placer des points pondérés dans un carré de côté 4.5058 et à prouver que tout carré unitaire placé dans cette région doit couvrir des points d'un poids total d'au moins 1. Comme 17 carrés unitaires nécessiteraient un poids total de 17 alors que seulement 16.9166 sont disponibles, une contradiction apparaît. Les poids ont été optimisés par programmation linéaire et arrondis à des fractions simples pour plus de clarté.
Les distributions montrent un regroupement discret dans les coins avec d'étranges barres près du centre, suggérant un potentiel d'amélioration supplémentaire grâce à des grilles plus grandes ou des directions de rotation supplémentaires.
Source: Hacker News · Résumé par HeadlinesBriefing