本記事では、17個の単位正方形を詰め込むことができる最小の正方形の一辺であるs(17)の下界の改善について論じます。John Bidwellは1998年にs(17)≤4.6756…であることを見出し、Trevor Greenは2000年に4×6グリッド内の16個の不可避な点を用いて4.4452…≤s(17)を証明しました。Sam Burnsは最近、ChatGPTの支援を受けて268個の重み付き点を用い、下界を4.4811(?)まで改善しました。本研究では、29×29グリッド内の168個の点と線形計画法による最適化を用いて、これをさらに4.5058(?)≤s(17)まで改善します。新しい解は0.77565の空きマージンと3.9545の内部グリッド辺長を持ちます。各単位正方形は少なくとも1つの重み付き点を含まなければならず、17個の正方形を収めると必ず重なりが生じることが保証されます。これにより、s(18)、s(19)、s(20)の下界も自動的に改善されます。今後の課題には、より大きなグリッドの探索や非対称なバージョンの発見が含まれます。
この手法は、一辺4.5058の正方形内に重み付き点を配置し、この領域に置かれた任意の単位正方形が合計重量1以上の点を覆わなければならないことを証明するものです。17個の単位正方形には合計重量17が必要ですが、利用可能なのは16.9166のみであるため、矛盾が生じます。重みは線形計画法で最適化され、明確さのために簡潔な分数に丸められました。
分布は角に離散的なクラスタリングを示し、中心付近には奇妙なバーがあり、より大きなグリッドや追加の回転方向によるさらなる改善の可能性を示唆しています。
出典: Hacker News · 要約：HeadlinesBriefing