В статье обсуждается улучшение нижней границы для s(17) — стороны наименьшего квадрата, в который можно упаковать 17 единичных квадратов. John Bidwell установил в 1998 году, что s(17)≤4.6756…, а Trevor Green доказал в 2000 году, что 4.4452…≤s(17), используя 16 неизбежных точек в сетке 4×6. Sam Burns недавно улучшил нижнюю границу до 4.4811(?) с помощью 268 взвешенных точек и помощи ChatGPT. Настоящая работа дополнительно улучшает этот результат до 4.5058(?)≤s(17), используя 168 точек в сетке 29×29 с оптимизацией методом линейного программирования. Новое решение имеет пустое поле величиной 0.77565 и внутреннюю сторону сетки 3.9545. Каждый единичный квадрат должен содержать хотя бы одну взвешенную точку, что гарантирует перекрытие при размещении 17 квадратов. Это автоматически улучшает нижние границы для s(18), s(19) и s(20). Будущая работа включает исследование более крупных сеток и поиск несимметричных версий.
Метод заключается в размещении взвешенных точек в квадрате со стороной 4.5058 и доказательстве того, что любой единичный квадрат, помещённый в эту область, должен покрывать точки с суммарным весом не менее 1. Поскольку 17 единичных квадратов потребовали бы суммарного веса 17, а доступно лишь 16.9166, возникает противоречие. Веса были оптимизированы с помощью линейного программирования и округлены до простых дробей для наглядности.
Распределения показывают дискретную кластеризацию в углах со странными полосами вблизи центра, что указывает на потенциал дальнейшего улучшения за счёт более крупных сеток или дополнительных направлений вращения.
Источник: Hacker News · Сводку подготовил HeadlinesBriefing