The Mathocalypse

Yesterday was one of the biggest days in mathematical history. Among 372 major results released by OpenAI, on the recommendation of an advisory group that included Timothy Gowers and Edward Witten, was a proof of Subhash Khot's Unique Games Conjecture (UGC). The conjecture implies that a whole slew of optimization problems are NP-hard, even for approximations slightly better than those given by semidefinite programming relaxation. Complexity theorist Dana Moshkovitz, who has worked toward proving the UGC for her entire career, found the news both vindicating and humbling.

There is a Lean certificate for the proof, as there is for some of the other results, but few humans have yet understood the proofs. The race to do so has just begun. Moshkovitz described the UGC paper as horribly written and said it was nearly impossible to read without AI help. She noted that the proof invents a bizarre new code with a noise test, and that many citations seem irrelevant or confusing.

Other treasures from the release include L=BPL, showing that probabilistic and deterministic logspace are the same, one of the great derandomization conjectures short of P=BPP. Another result improves the running time of the Fourier Transform and integer multiplication to O(n log^0.9999999999999 n), breaking a barrier that had stood since the 1960s. A positive solution to the Unitary Synthesis Problem, posed in 2007, also appeared.

For mathematicians and theoretical computer scientists, the moment is both exciting and unsettling. A possible future is a math world that is heavenly for those with creative ideas that AI can help check and implement. As the author notes, there is a lot for humans to learn from these new results.

كان أمس من أكبر الأيام في تاريخ الرياضيات. فمن بين 372 نتيجة كبرى أصدرتها OpenAI، بناءً على توصية فريق استشاري ضم تيموثي غوورز وإدوارد ويتن، كان هناك برهان على حدسية الألعاب الفريدة (UGC) لسوبهاش خوت. تعني هذه الحدسية أن عددًا كبيرًا من مسائل التحسين صعبة من فئة NP، حتى عند السعي إلى تقريبات أفضل قليلًا مما تقدمه تقنية الاسترخاء بالبرمجة نصف المحددة. ووصفت عالمة نظرية التعقيد دانا موشكوفيتز، التي عملت طوال حياتها المهنية نحو إثبات هذه الحدسية، الخبر بأنه مبرر ومتواضع في آن واحد.

يوجد للبرهان شهادة Lean، كما هو الحال مع بعض النتائج الأخرى، لكن قليلين من البشر فهموا البراهين حتى الآن. وقد بدأ سباق فهمها للتو. وصفت موشكوفيتز ورقة UGC بأنها مكتوبة بشكل سيئ للغاية، وقالت إن قراءتها دون مساعدة الذكاء الاصطناعي شبه مستحيلة. وأشارت إلى أن البرهان يبتكر شفرة جديدة غريبة مع اختبار للضوضاء، وأن كثيرًا من الاستشهادات تبدو غير ذات صلة أو مربكة.

ومن الإضافات الأخرى في الإصدار L=BPL، الذي يبين أن الفضاء اللوغاريتمي الاحتمالي والحتمي متماثلان، وهو من أهم حدوس نزع العشوائية قبل P=BPP. وتحسّن نتيجة أخرى زمن تشغيل تحويل فورييه وضرب الأعداد الصحيحة إلى O(n log^0.9999999999999 n)، كاسرةً حاجزًا قائمًا منذ الستينيات. كما ظهر حل إيجابي لمسألة التركيب الوحدوي التي طُرحت عام 2007.

بالنسبة إلى علماء الرياضيات وعلماء الحاسوب النظريين، تبدو اللحظة مثيرة ومقلقة في آن. ومن المستقبل المحتمل عالم رياضي مثالي لأصحاب الأفكار الإبداعية الذين يستطيع الذكاء الاصطناعي مساعدتهم في التحقق من أفكارهم وتطبيقها. وكما يشير الكاتب، ثمة الكثير الذي يمكن للبشر أن يتعلموه من هذه النتائج الجديدة.

গতকাল গাণিতিক ইতিহাসের অন্যতম বৃহৎ দিন ছিল। Timothy Gowers ও Edward Witten সহ একটি উপদেষ্টা দলের সুপারিশে OpenAI যে ৩৭২টি বড় ফলাফল প্রকাশ করেছে, তার মধ্যে ছিল Subhash Khot-এর Unique Games Conjecture (UGC)-এর একটি প্রমাণ। এই অনুমান বোঝায় যে অনুকূলায়ন সমস্যার এক বিশাল সমষ্টি NP-হার্ড, এমনকি যখন কেবল semidefinite programming relaxation থেকে প্রাপ্ত সমাধানের চেয়ে সামান্য ভালো আনুমানিক সমাধান খোঁজা হয়। জটিলতা তত্ত্ববিদ Dana Moshkovitz, যিনি তাঁর পুরো কর্মজীবন UGC প্রমাণের জন্য কাজ করেছেন, এই খবরে একই সঙ্গে স্বস্তি ও বিনয়ী অনুভূতি পেয়েছেন।

এই প্রমাণের একটি Lean সনদ রয়েছে, অন্য কিছু ফলাফলেরও তা আছে, কিন্তু এখনও খুব কম মানুষই এই প্রমাণগুলো বুঝতে পেরেছেন। সেগুলো বোঝার প্রতিযোগিতা সবেমাত্র শুরু হয়েছে। Moshkovitz UGC পেপারটিকে অত্যন্ত খারাপভাবে লেখা বলে বর্ণনা করেছেন এবং বলেছেন এআইয়ের সাহায্য ছাড়া এটি পড়া প্রায় অসম্ভব। তিনি উল্লেখ করেছেন যে প্রমাণটি একটি অদ্ভুত নতুন কোড উদ্ভাবন করে যাতে একটি noise test রয়েছে, এবং অনেক উদ্ধৃতি অপ্রাসঙ্গিক বা বিভ্রান্তিকর মনে হয়।

এই প্রকাশনার অন্য মূল্যবান ফলাফলের মধ্যে রয়েছে L=BPL, যা দেখায় যে probabilistic ও deterministic logspace অভিন্ন। এটি P=BPP-এর আগের অন্যতম বড় derandomization অনুমান। আরেকটি ফলাফল Fourier Transform ও integer multiplication-এর রানিং টাইম O(n log^0.9999999999999 n) পর্যন্ত উন্নত করে, যা ১৯৬০-এর দশক থেকে চলে আসা একটি বাধা ভেঙে দেয়। ২০০৭ সালে প্রস্তাবিত Unitary Synthesis Problem-এর একটি ইতিবাচক সমাধানও এসেছে।

গণিতবিদ ও তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানীদের জন্য এই মুহূর্তটি একই সঙ্গে উত্তেজনাপূর্ণ ও অস্থির করে তোলার মতো। একটি সম্ভাব্য ভবিষ্যৎ হলো এমন এক গাণিতিক জগৎ, যা সৃজনশীল ধারণাধারী মানুষদের জন্য স্বর্গসম হবে, যেখানে এআই তাদের ধারণা যাচাই ও বাস্তবায়নে সাহায্য করবে। লেখক যেমন উল্লেখ করেছেন, এই নতুন ফলাফল থেকে মানুষের শেখার অনেক কিছু আছে।

Gestern war einer der bedeutendsten Tage der Mathematikgeschichte. Unter den 372 wichtigen Ergebnissen, die OpenAI auf Empfehlung einer Beratergruppe mit Timothy Gowers und Edward Witten veröffentlichte, befand sich ein Beweis von Subhash Khots Unique-Games-Vermutung (UGC). Die Vermutung impliziert, dass eine ganze Reihe von Optimierungsproblemen NP-schwer ist, selbst für Näherungen, die etwas besser sind als jene aus der semidefiniten Programmierungsrelaxation. Die Komplexitätstheoretikerin Dana Moshkovitz, die ihre gesamte Karriere auf einen Beweis der UGC hingearbeitet hat, empfand die Nachricht zugleich als Bestätigung und als demütigend.

Für den Beweis gibt es ein Lean-Zertifikat, wie auch für einige andere Ergebnisse, doch bisher haben nur wenige Menschen die Beweise verstanden. Das Rennen, sie zu verstehen, hat gerade erst begonnen. Moshkovitz beschrieb das UGC-Papier als furchtbar geschrieben und sagte, es sei ohne KI-Hilfe kaum lesbar. Sie stellte fest, dass der Beweis einen bizarren neuen Code mit einem Rauschtest erfindet und dass viele Zitate irrelevant oder verwirrend erscheinen.

Weitere Highlights der Veröffentlichung sind L=BPL, das zeigt, dass probabilistischer und deterministischer Logspace gleich sind, eine der großen Derandomisierungsvermutungen vor P=BPP. Ein anderes Ergebnis verbessert die Laufzeit der Fourier-Transformation und der Ganzzahlmultiplikation auf O(n log^0.9999999999999 n) und durchbricht damit eine Schranke, die seit den 1960er-Jahren bestand. Außerdem erschien eine positive Lösung des Unitary-Synthesis-Problems, das 2007 gestellt wurde.

Für Mathematiker und theoretische Informatiker ist der Moment zugleich aufregend und verunsichernd. Eine mögliche Zukunft ist eine mathematische Welt, die für Menschen mit kreativen Ideen geradezu paradiesisch wäre, wenn KI hilft, diese zu prüfen und umzusetzen. Wie der Autor anmerkt, gibt es von diesen neuen Ergebnissen viel zu lernen.

Ayer fue uno de los días más importantes de la historia de las matemáticas. Entre los 372 resultados importantes publicados por OpenAI, por recomendación de un grupo asesor que incluía a Timothy Gowers y Edward Witten, se encontraba una prueba de la Conjetura de los Juegos Únicos (UGC) de Subhash Khot. La conjetura implica que una gran cantidad de problemas de optimización son NP-difíciles, incluso para aproximaciones ligeramente mejores que las que se obtienen mediante la relajación de programación semidefinida. La teórica de la complejidad Dana Moshkovitz, que ha trabajado hacia la demostración de la UGC durante toda su carrera, consideró la noticia a la vez reivindicativa y humillante.

La prueba tiene un certificado en Lean, como algunos de los otros resultados, pero pocos humanos han comprendido aún las demostraciones. La carrera por hacerlo acaba de comenzar. Moshkovitz describió el artículo sobre la UGC como terriblemente escrito y dijo que era casi imposible leerlo sin ayuda de la IA. Señaló que la prueba inventa un código nuevo y extraño con una prueba de ruido, y que muchas citas parecen irrelevantes o confusas.

Otros hallazgos de la publicación incluyen L=BPL, que muestra que el logespacio probabilístico y el determinista son lo mismo, una de las grandes conjeturas de desaleatorización antes de P=BPP. Otro resultado mejora el tiempo de ejecución de la transformada de Fourier y de la multiplicación de enteros a O(n log^0.9999999999999 n), rompiendo una barrera vigente desde la década de 1960. También apareció una solución positiva al Problema de Síntesis Unitaria, planteado en 2007.

Para matemáticos e informáticos teóricos, el momento es emocionante e inquietante a la vez. Un futuro posible es un mundo matemático paradisíaco para quienes tengan ideas creativas que la IA pueda ayudar a verificar e implementar. Como señala el autor, hay mucho que los humanos pueden aprender de estos nuevos resultados.

Hier fut l'une des plus grandes journées de l'histoire des mathématiques. Parmi les 372 résultats majeurs publiés par OpenAI, sur recommandation d'un groupe consultatif comprenant Timothy Gowers et Edward Witten, figurait une preuve de la conjecture des jeux uniques (UGC) de Subhash Khot. Cette conjecture implique qu'une foule de problèmes d'optimisation sont NP-difficiles, même pour des approximations légèrement meilleures que celles obtenues par relaxation semi-définie positive. La théoricienne de la complexité Dana Moshkovitz, qui a consacré toute sa carrière à prouver la UGC, a trouvé la nouvelle à la fois valorisante et humiliante.

La preuve dispose d'un certificat Lean, comme certains autres résultats, mais peu d'humains ont encore compris ces preuves. La course pour y parvenir vient à peine de commencer. Moshkovitz a qualifié l'article sur la UGC d'horriblement mal écrit et a affirmé qu'il était presque impossible à lire sans l'aide de l'IA. Elle a noté que la preuve invente un code nouveau et bizarre, doté d'un test de bruit, et que de nombreuses citations semblent hors de propos ou confuses.

D'autres trésors de cette publication incluent L=BPL, qui montre que le logespace probabiliste et le logespace déterministe sont identiques, l'une des grandes conjectures de dérandomisation avant P=BPP. Un autre résultat améliore le temps d'exécution de la transformée de Fourier et de la multiplication d'entiers à O(n log^0.9999999999999 n), brisant une barrière en place depuis les années 1960. Une solution positive au problème de synthèse unitaire, posé en 2007, est également apparue.

Pour les mathématiciens et les informaticiens théoriciens, ce moment est à la fois passionnant et déstabilisant. Un avenir possible est un monde mathématique idyllique pour ceux qui ont des idées créatives que l'IA peut aider à vérifier et à mettre en œuvre. Comme le note l'auteur, les humains ont beaucoup à apprendre de ces nouveaux résultats.

कल गणितीय इतिहास के सबसे बड़े दिनों में से एक था। OpenAI द्वारा जारी किए गए 372 प्रमुख परिणामों में, Timothy Gowers और Edward Witten सहित एक सलाहकार समूह की सिफारिश पर, Subhash Khot की अद्वितीय खेल अनुमान (UGC) का एक प्रमाण भी था। यह अनुमान बताता है कि अनुकूलन समस्याओं का एक बड़ा समूह NP-hard है, भले ही केवल उन सन्निकटनों की तलाश हो जो semidefinite programming relaxation से प्राप्त सन्निकटनों से थोड़े बेहतर हों। जटिलता सिद्धांतकार Dana Moshkovitz, जो अपने पूरे करियर में UGC को सिद्ध करने के लिए काम करती रही हैं, इस खबर से एक साथ प्रसन्न और विनम्र हुईं।

इस प्रमाण के लिए एक Lean प्रमाणपत्र मौजूद है, जैसा कि कुछ अन्य परिणामों के लिए भी है, लेकिन अभी तक बहुत कम मनुष्य इन प्रमाणों को समझ पाए हैं। इन्हें समझने की दौड़ अभी शुरू हुई है। Moshkovitz ने UGC पेपर को बेहद खराब लिखा हुआ बताया और कहा कि AI की मदद के बिना उसे पढ़ना लगभग असंभव है। उन्होंने कहा कि प्रमाण एक अजीब नया कोड गढ़ता है जिसमें noise test शामिल है, और कई संदर्भ अप्रासंगिक या भ्रमित करने वाले लगते हैं।

इस रिलीज़ के अन्य रत्नों में L=BPL शामिल है, जो दिखाता है कि probabilistic और deterministic logspace एक ही हैं, जो P=BPP से पहले के सबसे बड़े derandomization अनुमानों में से एक है। एक अन्य परिणाम Fourier Transform और integer multiplication के रनिंग टाइम को O(n log^0.9999999999999 n) तक सुधारता है, जिससे 1960 के दशक से चली आ रही एक बाधा टूटती है। 2007 में प्रस्तावित Unitary Synthesis Problem का सकारात्मक हल भी सामने आया।

गणितज्ञों और सैद्धांतिक कंप्यूटर वैज्ञानिकों के लिए यह क्षण एक साथ रोमांचक और बेचैन करने वाला है। एक संभावित भविष्य ऐसी गणितीय दुनिया है जो उन लोगों के लिए स्वर्ग जैसी होगी जिनके पास रचनात्मक विचार हैं और जिन्हें AI जांचने और लागू करने में मदद कर सके। जैसा कि लेखक बताते हैं, इन नए परिणामों से मनुष्यों के पास सीखने को बहुत कुछ है।

Kemarin adalah salah satu hari terbesar dalam sejarah matematika. Di antara 372 hasil besar yang dirilis OpenAI, atas rekomendasi kelompok penasihat yang mencakup Timothy Gowers dan Edward Witten, terdapat bukti Unique Games Conjecture (UGC) milik Subhash Khot. Konjektur ini menyiratkan bahwa sejumlah besar masalah optimasi bersifat NP-hard, bahkan untuk pendekatan yang sedikit lebih baik dibanding yang diperoleh dari relaksasi pemrograman semidefinit. Ahli teori kompleksitas Dana Moshkovitz, yang sepanjang kariernya berupaya membuktikan UGC, menganggap kabar ini sekaligus membenarkan sekaligus merendahkan hati.

Bukti ini memiliki sertifikat Lean, seperti beberapa hasil lainnya, tetapi sedikit manusia yang telah memahami buktinya. Perlombaan untuk memahaminya baru saja dimulai. Moshkovitz menggambarkan makalah UGC sebagai sangat buruk penulisannya dan mengatakan hampir mustahil membacanya tanpa bantuan AI. Ia mencatat bahwa bukti tersebut menciptakan kode baru yang aneh dengan uji derau, dan banyak kutipannya tampak tidak relevan atau membingungkan.

Harta karun lain dari rilis ini mencakup L=BPL, yang menunjukkan bahwa logspace probabilistik dan deterministik adalah sama, salah satu konjektur derandomisasi besar sebelum P=BPP. Hasil lain memperbaiki waktu eksekusi Transformasi Fourier dan perkalian bilangan bulat menjadi O(n log^0.9999999999999 n), memecahkan batas yang bertahan sejak 1960-an. Solusi positif untuk Masalah Sintesis Uniter, yang diajukan pada 2007, juga muncul.

Bagi matematikawan dan ilmuwan komputer teoretis, momen ini sekaligus menggembirakan dan meresahkan. Salah satu masa depan yang mungkin adalah dunia matematika yang menjadi surga bagi mereka yang memiliki gagasan kreatif yang dapat dibantu AI untuk diperiksa dan diimplementasikan. Seperti dicatat penulis, ada banyak hal yang dapat dipelajari manusia dari hasil baru ini.

昨日は数学史上最も重要な日の一つでした。Timothy GowersやEdward Wittenを含む諮問グループの推奨により、OpenAIが発表した372の主要な成果の中には、Subhash Khotの一意ゲーム予想（UGC）の証明がありました。この予想が正しければ、半正定値計画緩和で得られる近似よりわずかに良い近似を求めるだけでも、多くの最適化問題がNP困難であることが示されます。UGCの証明を生涯をかけて目指してきた計算量理論の研究者Dana Moshkovitzは、このニュースを、報われた思いと謙虚になる思いの両方で受け止めました。

この証明にはLeanによる証明書があり、他のいくつかの成果も同様ですが、まだ理解できた人間はほとんどいません。その理解への競争は始まったばかりです。Moshkovitzは、UGCの論文はひどく書かれていて、AIの助けなしに読むのはほぼ不可能だと述べました。また、この証明はノイズ検定を伴う奇妙な新しい符号を発明しており、多くの引用は無関係か紛らわしいと指摘しました。

この発表の他の注目点には、確率的対数空間と決定的対数空間が同じであることを示すL=BPLがあります。これはP=BPPに至る前の、重要な脱乱択化予想の一つです。別の成果は、フーリエ変換と整数の乗算の実行時間をO(n log^0.9999999999999 n)まで改善し、1960年代から続いていた壁を破りました。さらに、2007年に提起されたユニタリ合成問題に対する肯定的な解も現れました。

数学者や理論計算機科学者にとって、この瞬間は刺激的であると同時に不安をかき立てるものです。考えられる未来の一つは、創造的なアイデアを持つ人々をAIが検証と実装で支える、数学者にとっての楽園のような世界です。著者が指摘するように、これらの新しい成果から人間が学ぶべきことはたくさんあります。

Ontem foi um dos dias mais importantes da história da matemática. Entre os 372 resultados importantes divulgados pela OpenAI, por recomendação de um grupo consultivo que incluía Timothy Gowers e Edward Witten, estava uma prova da Conjectura dos Jogos Únicos (UGC) de Subhash Khot. A conjectura implica que uma grande quantidade de problemas de otimização são NP-difíceis, mesmo para aproximações ligeiramente melhores do que as obtidas pela relaxação por programação semidefinida. A teórica da complexidade Dana Moshkovitz, que dedicou toda a sua carreira a provar a UGC, considerou a notícia ao mesmo tempo libertadora e humilhante.

A prova possui um certificado em Lean, assim como alguns dos outros resultados, mas poucos humanos ainda compreenderam as demonstrações. A corrida para fazê-lo acaba de começar. Moshkovitz descreveu o artigo sobre a UGC como terrivelmente mal escrito e disse que era quase impossível lê-lo sem ajuda de IA. Ela observou que a prova inventa um código novo e estranho com um teste de ruído, e que muitas citações parecem irrelevantes ou confusas.

Outras descobertas da divulgação incluem L=BPL, que mostra que o logespaço probabilístico e o determinístico são iguais, uma das grandes conjecturas de desrandomização antes de P=BPP. Outro resultado melhora o tempo de execução da Transformada de Fourier e da multiplicação de inteiros para O(n log^0.9999999999999 n), quebrando uma barreira que existia desde a década de 1960. Também surgiu uma solução positiva para o Problema de Síntese Unitária, proposto em 2007.

Para matemáticos e cientistas da computação teóricos, o momento é ao mesmo tempo empolgante e perturbador. Um futuro possível é um mundo matemático paradisíaco para quem tem ideias criativas que a IA pode ajudar a verificar e implementar. Como observa o autor, há muito que os humanos podem aprender com esses novos resultados.

Вчера был один из крупнейших дней в истории математики. Среди 372 крупных результатов, опубликованных OpenAI по рекомендации консультативной группы, в которую входили Тимоти Гауэрс и Эдвард Виттен, было доказательство гипотезы об уникальных играх (UGC) Субхаша Хота. Эта гипотеза означает, что целый ряд задач оптимизации является NP-трудным, даже когда речь идёт о приближениях, немного лучших тех, что дает полуопределённая релаксация. Специалист по теории сложности Дана Мошковиц, которая всю карьеру работала над доказательством UGC, восприняла эту новость одновременно как подтверждение и как унижение.

Для доказательства есть сертификат Lean, как и для некоторых других результатов, однако пока мало кто из людей понял эти доказательства. Гонка за их пониманием только началась. Мошковиц назвала статью об UGC ужасно написанной и сказала, что без помощи ИИ её почти невозможно прочитать. Она отметила, что доказательство изобретает странный новый код с тестом на шум, а многие ссылки кажутся нерелевантными или запутанными.

Другие жемчужины этой публикации включают L=BPL, показывающее, что вероятностная и детерминированная логарифмическая память совпадают — это одна из крупных гипотез дерандомизации, предшествующих P=BPP. Другой результат улучшает время работы преобразования Фурье и умножения целых чисел до O(n log^0.9999999999999 n), преодолевая барьер, существовавший с 1960-х годов. Также появилось положительное решение задачи унитарного синтеза, поставленной в 2007 году.

Для математиков и теоретиков информатики этот момент одновременно захватывающий и тревожный. Возможное будущее — математический мир, который станет райским для тех, у кого есть творческие идеи, а ИИ поможет их проверить и реализовать. Как отмечает автор, людям есть чему поучиться у этих новых результатов.

昨天是数学史上最重要的日子之一。在OpenAI发布的372项重大成果中，包括对Subhash Khot独一博弈猜想（UGC）的证明，该成果经由包括Timothy Gowers和Edward Witten在内的顾问小组推荐。该猜想意味着大量优化问题是NP难的，即使只要求比半定规划松弛所给出的近似解稍好的近似解也是如此。复杂性理论学家Dana Moshkovitz为证明UGC奋斗了整个职业生涯，她认为这一消息既令人欣慰，又令人谦卑。

该证明有Lean形式化证书，其他部分成果也是如此，但目前几乎没有人类理解这些证明。理解它们的竞赛才刚刚开始。Moshkovitz形容UGC论文写得非常糟糕，若没有AI的帮助几乎无法阅读。她指出，该证明发明了一种带有噪声检验的奇特新编码，而且许多引用看起来不相关或令人困惑。

此次发布的其他亮点包括L=BPL，表明概率对数空间与确定性对数空间相同，这是P=BPP之前最重要的去随机化猜想之一。另一项成果将傅里叶变换和整数乘法的运行时间改进为O(n log^0.9999999999999 n)，打破了自20世纪60年代以来一直存在的壁垒。此外，2007年提出的酉合成问题也得到了肯定的解答。

对于数学家和理论计算机科学家而言，这一时刻既令人兴奋又令人不安。一种可能的未来是，对于拥有创意、而AI能够帮助检验和实现的人来说，这是一个美妙的数学世界。正如作者所言，人类可以从这些新成果中学到很多东西。