How to Use a PINN for a Navier-Stokes Inverse Problem

Wall shear stress is the friction blood puts on the wall of a vessel. It is tied to where plaque builds up, and it is hard to measure directly. What a clinic can get, with Doppler ultrasound for example, is the velocity at a few points inside the vessel. So the question for this article is whether a neural network can take those scattered, noisy velocities, together with the equations of fluid flow, and give back the whole flow field and the shear stress at the wall. A physics-informed neural network (PINN) is a natural fit. I built one in plain Py Torch, without Deep XDE or any other PINN library, for a 2D artery with a narrowing (a stenosis). From 40 velocity readings it reconstructs the velocity and pressure fields and the region of reversed flow behind the narrowing. It also works out the viscosity of the fluid, which I treated as unknown, and its wall shear stress follows the CFD reference closely.

The artery is a 2D channel of height H with a smooth bump on the lower wall that blocks half of the opening, a 50% stenosis. The flow is incompressible Navier-Stokes at a Reynolds number of 200, with lengths measured in channel heights and velocities in inlet velocities. That is a slow flow, at the low end of what happens in a carotid artery. In these units the kinematic viscosity is 0.005. To score a reconstruction you need to know the right answer, so I generated it. A Navier-Stokes solver I wrote computes the steady flow, and the PINN only ever gets 40 noisy readings taken from that solution. The noise is Gaussian, at 7% of the inlet velocity.

The network is a plain MLP with 6 layers of 32 tanh units, about 5,500 weights. It uses tanh because the momentum equation needs second derivatives of the output. The inputs are rescaled to the range -1 to 1 inside the network, so autograd still differentiates with respect to the physical coordinates. A PINN maps coordinates to physical quantities here (x, y) -> (u, v, p): two velocity components and the pressure. The loss has a term that fits the measurements, like an inverse problem, plus a term that drives the Navier-Stokes residual toward zero everywhere. This is the first article in a series about PINNs for blood flow.

إجهاد القص الجداري هو الاحتكاك الذي تمارسه الدم على جدار الوعاء. إنه مرتبط بمكان تراكم اللويحات، وصعب قياسه مباشرةً. ما يمكن للعيادة الحصول عليه، على سبيل المثال باستخدام الموجات فوق الصوتية دوبلر، هو السرعة عند بضع نقاط داخل الوعاء. لذا فإن السؤال في هذه المقالة هو ما إذا كان بإمكان الشبكة العصبية أخذ تلك السرعات المتناثرة والضوضائية، جنبًا إلى جنب مع معادلات تدفق السوائل، وإعطاء مجال التدفق الكامل وإجهاد القص على الجدار. الشبكة العصبية المدعومة بالفيزياء (PINN) هي ملاءمة طبيعية. بنيت واحدة في Py Torch الخالص، دون Deep XDE أو أي مكتبة PINN أخرى، لشريان 2D به تضيق (تضيق نصفي). من 40 قراءة سرعة، تعيد بناء مجالات السرعة والضغط ومنطقة التدفق العكسي خلف التضيق. كما تحسب لزوجة السائل، والتي عاملتها كمجهولة، وإجهاد القص الجداري لها يتبع مرجع CFD عن كثب.

الشرايين هي قناة 2D بارتفاع H مع نتوء ناعم على الجدار السفلي يسد نصف الفتحة، أي تضيق بنسبة 50%. التدفق هو نافير-ستوكس غير قابل للانضغاط عند عدد رينولدز 200، مع الأطوال المقاسة بارتفاعات القناة والسرعات بسرعات الدخول. هذا هو تدفق بطيء، في الطرف السفلي مما يحدث في شريان السباتي. في هذه الوحدات، اللزوجة الحركية هي 0.005. لتقييم إعادة البناء، تحتاج إلى معرفة الإجابة الصحيحة، لذا قمت بإنشائها. حلال نافير-ستوكس كتبته يحسب التدفق المستقر، وPINN لا تحصل أبدًا إلا على 40 قراءة ضوضائية مأخوذة من ذلك الحل. الضوضاء غاوسية، عند 7% من سرعة الدخول.

الشبكة هي MLP عادي بـ 6 طبقات من 32 وحدة tanh، حوالي 5500 وزن. يستخدم tanh لأن معادلة الزخم تحتاج إلى مشتقات ثانية من المخرجات. يتم إعادة مقياس المدخلات إلى النطاق -1 إلى 1 داخل الشبكة، لذا لا يزال autograd يميز بالنسبة للإحداثيات الفيزيائية. هنا، تُسجِّل PINN الإحداثيات إلى الكميات الفيزيائية: (x, y) -> (u, v, p): مكوني السرعة والضغط. يحتوي الخسارة على حد يطابق القياسات، مثل مشكلة عكسية، بالإضافة إلى حد يدفع متبقي نافير-ستوكس نحو الصفر في كل مكان. هذا هو المقال الأول في سلسلة حول PINNs لتدفق الدم.

الكيانات الرئيسية: الشركات: Towards Data Science, Py Torch

الأسئلة الشائعة: ما الذي يجعل PINN مناسبة لاستعادة تدفق الدم من قياسات السرعة النادرة؟

تجمع الشبكة العصبية المدعومة بالفيزياء (PINN) قياسات السرعة النادرة والضوضائية مع معادلات نافير-ستوكس الحاكمة كقيود ناعمة في دالة الخسارة. من خلال دفع متبقي نافير-ستوكس نحو الصفر في كل مكان، تعيد الشبكة بناء مجالات السرعة والضغط الكاملة وتستنتج المعلمات غير المعروفة مثل اللزوجة، حتى من 40 قراءة ضوضائية فقط.

দীর্ঘতর শেয়ার টেনশন হল রক্ত যে ঘর্ষণ একটি বাহরির দივালে প্রয়োগ করে। এটি প্লাকের জমার অবস্থান থেকে সম্পর্কিত, এবং এটি সরাসরি মাপা কঠিন। একটি ক্লিনিক কী পেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ ডপলার আলট্রাসাউন্ডের মাধ্যমে,वह বাহরের ভিতরে কিছু বিন্দুতে বেগ পায়। তাই এই নিবন্ধের প্রশ্ন হল কি একটি নিউরাল নেটওয়ার্ক সেই ছিটিয়ে পড়া, শোরযুক্ত বেগগুলোকে নিতে পারে, তদুই তরল প্রবাহের সমীকরণগুলোকে, এবং পুরো প্রবাহের ক্ষেত্র এবং দিভালের শেয়ার টেনশন ফেরত দিতে পারে? একটি ভৌতিক-সूচিত নিউরাল নেটওয়ার্ক (PINN) একটি প্রাকৃতিক ফিট। আমি একটি শुद्ध Py Torch-এ তৈরি করেছি, Deep XDE বা কোনো অন্যান্য PINN লাইব্রেরি ছাড়া, একটি 2D ধমনিতে যেখানে সংকুচন (স্টেনোসিস) আছে। 40 বেগের পাঠ থেকে এটি বেগ এবং চাপের ক্ষেত্র এবং সংকুচনের পিছনে উল্টো প্রবাহের অঞ্চল পুনরুদ্ধার করে। এটি তরলের ভיסকোসিটি కూడా বের করে, যা আমি অজানা হিসেবে মেনেছিলাম, এবং এর দীর্ঘতর শেয়ার টেনশন CFD রেফারেন্সের সাথে খুবই কাছাকাছি অনুসরণ করে।

ধমনি একটি 2D চ্যানেল যার উচ্চতা H, নিচের দივালে একটি চিকনা উত্থান যা খোলার অর্ধেক অংশকে বন্ধ করে দেয়, একটি 50% স্টেনোসিস। প্রবাহ অসম্পীডিত নেভিয়ার-স্টোকস, রেনোল্ডস সংখ্যা 200-এ, দৈর্ঘ্য চ্যানেলের উচ্চতার একক में মাপা হয় এবং বেগ ইনলেট বেগের একক में। এটি একটি ধীর প্রবাহ, কারটিড ধমনিতে ঘটने वाले प्रवाहের নিম্নান্তরে। এই একক들에 গতিশীল ভিসকোসিটি 0.005। একটি পুনরুদ্ধারের স্কোর দেওয়ার জন্য, আপনাকে সঠিক উত্তর জানা দরকার, তাই আমি এটি তৈরি করেছি। একটি নেভিয়ার-স্টোকস সলভার যা আমি লিখেছি, স্থির প্রবাহের গণনা করে, এবং PINN শুধুমাত্র সেই সমাধান থেকে নেওয়া 40 শোরযুক্ত পাঠ কখনওই পায়। শোর গাউসিয়ান, ইনলেট বেগের 7%-এ।

নেটওয়ার্ক একটি সরাসরি MLP যার 32 ট্যানহ ইউনিটের 6 স্তর আছে, تقریباً 5,500 ওজন। এটি ট্যানহ ব্যবহার করে কারণ গতিমomentum সমীকরণটি আউটপুটের দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের প্রয়োজন হয়। ইনপুটগুলো নেটওয়ার্কের ভিতরে -1 থেকে 1 এর পরিসরে পুনঃমাপ করা হয়, যাতে অটোগ্র্যাড এখনও ভৌতিক স্থানাঙ্কের সাপेক্ষ ডেরিভেটিভ নিতে পারে। একটি PINN এ স্থানাঙ্ককে ভৌতিক পরিমาณে মানচিত্র করে: (x, y) -> (u, v, p): দুটি বেগ উপাদান এবং চাপ। ক্ষতির একটি पद মাপনগুলোকে ফিট করে, যেমন একটি উल्ट समस্যা, plus একটি পদ যা নেভিয়ার-স্টোকস অবশেষকে সব জায়গায় শূন্য की ओर धकेलता है। এটি PINNs এর রক্ত প্রবাহের জন্য একটি সিরিজের প্রথম নিবন্ধ।

মূল エンティティ: কোম্পানੀਆਂ: Towards Data Science, Py Torch

সामान्य প্রশ্ন: কী PINNকে সparse বেগ মাপন থেকে রক্ত প্রবাহ পুনরুদ্ধারের জন্য উপযোগী করে তোলে?

একটি ভৌতিক-সूচিত নিউরাল নেটওয়ার্ক (PINN) sparse শোরযুক্ত বেগ মাপনগুলোকে নিয়ন্ত্রক নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণগুলোকে সনাক্তকরণের নরম বাধাগুলো হিসেবে loss ফাংশনে যোগ করে। নেভিয়ার-স্টোকস অবশেষকে সব জায়গায় শূন্য की ओर धकेলकर, নেটওয়ার্ক পুরো বেগ এবং চাপের ক্ষেত্র পুনরুদ্ধার করে এবং ভিসকোসিটি মতো অজানা প্যারামিটারগুলো অনুমান করে, भले ही केवल 40 शोरयुक्त पाठ से।

Die Wandscherspannung ist die Reibung, die das Blut an die Gefäßwand ausübt. Sie hängt damit zusammen, wo sich Plaque ablagert, und ist schwer direkt zu messen. Was eine Klinik erhalten kann, beispielsweise mittels Doppler-Ultraschall, ist die Geschwindigkeit an einigen Punkten innerhalb des Gefäßes. Damit lautet die Frage dieses Artikels, ob ein neuronales Netzwerk diese zerstreuten, rauschhaften Geschwindigkeitswerte zusammen mit den Gleichungen der Fluidströmung nehmen kann, um das gesamte Strömungsfeld und die Wandscherspannung zurückzugeben. Ein physikalisch informiertes neuronales Netzwerk (PINN) ist eine natürliche Wahl. Ich habe eines in reinem Py Torch gebaut, ohne Deep XDE oder irgendeine andere PINN-Bibliothek, für eine 2D-Arterie mit einer Verengung (einer Stenose). Aus 40 Geschwindigkeitsmessungen rekonstruiert es die Geschwindigkeits- und Druckfelder sowie den Bereich mit rückwärts gerichtetem Fluss hinter der Verengung. Es berechnet außerdem die Viskosität des Fluids, die ich als unbekannt angenommen habe, und seine Wandscherspannung folgt der CFD-Referenz sehr genau.

Die Arterie ist ein 2D-Kanal der Höhe H mit einer glatten Erhebung an der unteren Wand, die die Hälfte der Öffnung blockiert, also eine Stenose von 50 %. Der Fluss ist ein inkompressibler Navier-Stokes-Fluss bei einer Reynolds-Zahl von 200, wobei Längen in Kanalhöhen und Geschwindigkeiten in Einlaufgeschwindigkeiten gemessen werden. Dies ist ein langsamer Fluss, am unteren Ende dessen, was in einer Halsschlagader vorkommt. In diesen Einheiten beträgt die kinematische Viskosität 0,005. Um eine Reconstruction zu bewerten, muss man die richtige Antwort kennen, deshalb habe ich sie erzeugt. Ein von mir geschriebener Navier-Stokes-Löser berechnet den stationären Fluss, und die PINN erhält lediglich 40 rauschhafte Messwerte, die aus dieser Lösung genommen wurden. Der Rauschen ist gaußverteilt und beträgt 7 % der Einlaufgeschwindigkeit.

Das Netzwerk ist ein einfacher MLP mit 6 Schichten von je 32 tanh-Einheiten, also etwa 5.500 Gewichten. Es verwendet tanh, weil der Impulsgleichung zweite Ableitungen des Outputs erforderlich sind. Die Eingaben werden im Netzwerk auf den Bereich [-1, 1] reskaliert, sodass autograd weiterhin bezüglich der physikalischen Koordinaten differenzieren kann. Eine PINN ordnet hier Koordinaten physikalischen Größen zu: (x, y) -> (u, v, p): zwei Geschwindigkeitskomponenten und der Druck. Die Verlustfunktion enthält einen Term, der die Messwerte anpasst (wie ein inverses Problem), plus einen Term, der den Navier-Stokes-Residuum überall gegen null treibt. Dies ist der erste Artikel einer Reihe über PINNs für Blutfluss.

Wichtige Entitäten: Unternehmen: Towards Data Science, Py Torch

Häufig gestellte Fragen: Was macht ein PINN geeignet für die Wiederherstellung des Blutflusses aus seltenen Geschwindigkeitsmessungen?

Ein physikalisch informiertes neuronales Netzwerk (PINN) kombiniert seltene, rauschhafte Geschwindigkeitsmessungen mit den herrschenden Navier-Stokes-Gleichungen als weiche Constraints in der Verlustfunktion. Indem es den Navier-Stokes-Residuum überall gegen null treibt, rekonstruiert das Netzwerk das vollständige Geschwindigkeits- und Druckfeld und leitet unbekannte Parameter wie Viskosität ab, selbst aus nur 40 rauschhaften Messwerten.

El esfuerzo cortante de pared es la fricción que la sangre ejerce sobre la pared de un vaso. Está relacionado con dónde se acumula la placa y es difícil de medir directamente. Lo que una clínica puede obtener, por ejemplo con ecografía Doppler, es la velocidad en unos pocos puntos dentro del vaso. Entonces, la pregunta de este artículo es si una red neuronal puede tomar esas velocidades esparcidas y ruidosas, junto con las ecuaciones de flujo de fluidos, y devolver todo el campo de flujo y el esfuerzo cortante de pared. Una red neuronal informada por la física (PINN) es un ajuste natural. Construí una en Py Torch puro, sin Deep XDE ni ninguna otra biblioteca de PINN, para una arteria 2D con un estrechamiento (una estenosis). A partir de 40 lecturas de velocidad, reconstruye los campos de velocidad y presión y la región de flujo invertido detrás del estrechamiento. También calcula la viscosidad del fluido, que traté como desconocida, y su esfuerzo cortante de pared sigue de cerca la referencia de CFD.

La arteria es un canal 2D de altura H con un bulto suave en la pared inferior que bloquea la mitad de la apertura, una estenosis del 50%. El flujo es Navier-Stokes incompresible a un número de Reynolds de 200, con longitudes medidas en alturas de canal y velocidades en velocidades de entrada. Eso es un flujo lento, en el extremo bajo de lo que ocurre en una arteria carótida. En estas unidades, la viscosidad cinemática es 0.005. Para puntuar una reconstrucción, necesitas saber la respuesta correcta, así que la generé. Un solucionador de Navier-Stokes que escribí calcula el flujo estable, y la PINN solo obtiene 40 lecturas ruidosas tomadas de esa solución. El ruido es gaussiano, al 7% de la velocidad de entrada.

La red es un MLP sencillo con 6 capas de 32 unidades tanh, aproximadamente 5,500 pesos. Usa tanh porque la ecuación de momento necesita segundas derivadas de la salida. Las entradas se reescalan al rango -1 a 1 dentro de la red, por lo que autograd aún deriva respecto a las coordenadas físicas. Una PINN asigna coordenadas a cantidades físicas aquí: (x, y) -> (u, v, p): dos componentes de velocidad y la presión. La pérdida tiene un término que ajusta las mediciones, como un problema inverso, más un término que impulsa el residual de Navier-Stokes hacia cero en todas partes. Este es el primer artículo de una serie sobre PINNs para flujo sanguíneo.

Entidades Clave: Empresas: Towards Data Science, Py Torch

Preguntas Frecuentes: ¿Qué hace que una PINN sea adecuada para recuperar el flujo sanguíneo a partir de mediciones de velocidad escasas?

Una red neuronal informada por la física (PINN) combina mediciones de velocidad escasas y ruidosas con las ecuaciones gobernantes de Navier-Stokes como restricciones suaves en la función de pérdida. Al impulsar el residual de Navier-Stokes hacia cero en todas partes, la red reconstruye los campos completos de velocidad y presión e infiere parámetros desconocidos como la viscosidad, incluso a partir de solo 40 lecturas ruidosas.

La contrainte de cisaillement pariétale est la friction que le sang exerce sur la paroi d'un vaisseau. Elle est liée à l'endroit où s'accumule la plaque et elle est difficile à mesurer directement. Ce qu'une clinique peut obtenir, par exemple avec une échographie Doppler, est la vitesse en quelques points à l'intérieur du vaisseau. Ainsi, la question de cet article est de savoir si un réseau de neurones peut prendre ces vitesses éparses et bruyantes, ainsi que les équations d'écoulement des fluides, et restituer le champ d'écoulement complet et la contrainte de cisaillement pariétale. Un réseau de neurones informé par la physique (PINN) est un choix naturel. J'en ai construit un en Py Torch pur, sans Deep XDE ni aucune autre bibliothèque PINN, pour une artère 2D avec un rétrécissement (une sténose). À partir de 40 mesures de vitesse, il reconstruit les champs de vitesse et de pression ainsi que la région d'écoulement inversé derrière le rétrécissement. Il détermine également la viscosité du fluide, que j'ai traitée comme inconnue, et sa contrainte de cisaillement pariétale suit étroitement la référence CFD.

L'artère est un canal 2D de hauteur H avec une bosse lisse sur la paroi inférieure qui bloque la moitié de l'ouverture, soit une sténose de 50 %. L'écoulement est un écoulement de Navier-Stokes incompressible à un nombre de Reynolds de 200, avec des longueurs mesurées en hauteurs de canal et des vitesses en vitesses d'entrée. C'est un écoulement lent, situé dans la partie basse de ce qui se produit dans une artère carotide. Dans ces unités, la viscosité cinématique est de 0,005. Pour évaluer une reconstruction, il faut connaître la bonne réponse, donc je l'ai générée. Un solveur de Navier-Stokes que j'ai écrit calcule l'écoulement stationnaire, et la PINN ne reçoit jamais que 40 mesures bruyantes prélevées sur cette solution. Le bruit est gaussien, à 7 % de la vitesse d'entrée.

Le réseau est un MLP simple comportant 6 couches de 32 unités tanh, soit environ 5 500 poids. Il utilise la fonction tanh car l'équation de quantité de mouvement nécessite des dérivées secondes de la sortie. Les entrées sont remises à l'échelle dans l'intervalle [-1, 1] à l'intérieur du réseau, de sorte que l'autograd dérive toujours par rapport aux coordonnées physiques. Ici, une PINN associe des coordonnées à des grandeurs physiques : (x, y) -> (u, v, p) : deux composantes de vitesse et la pression. La perte comporte un terme qui ajuste les mesures, comme un problème inverse, plus un terme qui pousse le résidu de Navier-Stokes vers zéro partout. Cet article est le premier d'une série sur les PINNs pour l'écoulement sanguin.

Entités clés : Entreprises : Towards Data Science, Py Torch

FAQ : Qu'est-ce qui rend une PINN adaptée pour récupérer l'écoulement sanguin à partir de mesures de vitesse rares ?

Un réseau de neurones informé par la physique (PINN) combine des mesures de vitesse rares et bruyantes avec les équations de Navier-Stokes gouvernantes sous forme de contraintes souples dans la fonction de perte. En faisant tendre le résidu de Navier-Stokes vers zéro partout, le réseau reconstruit les champs complets de vitesse et de pression et déduit des paramètres inconnus comme la viscosité, même à partir de seulement 40 mesures bruyantes.

दीवार कतरन तनाव वह घर्षण है जो रक्त एक वाहिक की दीवार पर डालता है। यह प्लाक के जमाव के स्थान से जुड़ा होता है, और इसे सीधे मापना कठिन होता है। एक क्लिनिक क्या प्राप्त कर सकती है, उदाहरण के लिए डॉपलर अल्ट्रासाउंड के साथ, वह वाहिक के भीतर कुछ बिंदुओं पर वेग है। इसलिए इस लेख का प्रश्न यह है कि क्या एक न्यूरल नेटवर्क उन बिखरे हुए, शोरयुक्त वेगों को ले सकता है, साथ ही तरल प्रवाह के समीकरणों को, और पूरा प्रवाह क्षेत्र और दीवार पर कतरन तनाव वापस दे सकता है? एक भौतिकी-सूचित न्यूरल नेटवर्क (PINN) एक प्राकृतिक फिट है। मैंने एक PLAIN Py Torch में बनाया, बिना Deep XDE या किसी अन्य PINN लाइब्रेरी के, एक 2D धमनी में जिसमें संकीर्णता (स्टेनोसिस) है। 40 वेग पाठ्यों से यह वेग और दबाव क्षेत्रों और संकीर्णता के पीछे उलटे प्रवाह के क्षेत्र का पुनर्निर्माण करता है। यह तरल की लसकता भी निकालता है, जिसे मैं अज्ञात मानता था, और इसकी दीवार कतरन तनाव CFD संदर्भ के बहुत करीब आता है।

धमनी एक 2D चैनल है जिसकी ऊंचाई H है, नीचे की दीवार पर एक चिकना उभार है जो खुलने के आधे हिस्से को अवरुद्ध करता है, एक 50% स्टेनोसिस। प्रवाह असंपीडित नवियर-स्टोक्स है, रेनॉल्ड्स संख्या 200 पर, लंबाइयों को चैनल की ऊंचाइयों में मापा जाता है और वेगों को इनलेट वेगों में। यह एक धीमा प्रवाह है, कैरोटिड धमनी में होने वाले प्रवाह के निचले सिरे पर। इन इकाइयों में गतिक लसकता 0.005 है। एक पुनर्निर्माण का स्कोर देने के लिए, आपको सही उत्तर जानने की आवश्यकता होती है, इसलिए मैंने इसे उत्पन्न किया। एक नवियर-स्टोक्स सॉल्वर जिसे मैंने लिखा है, स्थिर प्रवाह की गणना करता है, और PINN केवल उस समाधान से लिए गए 40 शोरयुक्त पाठ्य कभी ही प्राप्त करता है। शोर गॉसियन है, इनलेट वेग के 7% पर।

नेटवर्क एक साधारण MLP है जिसमें 32 टanh इकाइयों वाली 6 परतें हैं, लगभग 5,500 वजन। यह टanh का उपयोग करता है क्योंकि संवेग समीकरण को आउटपुट के दूसरे अवकलज की आवश्यकता होती है। इनपुट को नेटवर्क के भीतर -1 से 1 के दायरे में ponownie स्केल किया जाता है, ताकि ऑटograd अभी भी भौतिक निर्देशांकों के सापेक्ष अवकलज ले सके। एक PINN यहां निर्देशांकों को भौतिक राशियों में मैप करता है: (x, y) -> (u, v, p): दो वेग घटक और दबाव। हानि में एक ऐसा पद होता है जो मापनों को फिट करता है, जैसे एक व्युत्क्रम समस्या, plus एक पद जो नवियर-स्टोक्स अवशेष को हर जगह शून्य की ओर ले जाता है। यह PINNs के रक्त प्रवाह के लिए एक श्रृंखला का पहला लेख है।

मुख्य इकाइयाँ: कंपनियाँ: Towards Data Science, Py Torch

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न: क्या बनाता है PINN को सparse वेग मापनों से रक्त प्रवाह को पुनः प्राप्त करने के लिए उपयुक्त?

एक भौतिकी-सूचित न्यूरल नेटवर्क (PINN) sparse शोरयुक्त वेग मापनों को नियंत्रक नवियर-स्टोक्स समीकरणों के साथ संयोजित करता है, जिन्हें हानि फ़ंक्शन में नरम बाधाओं के रूप में लिया जाता है। नवियर-स्टोक्स अवशेष को हर जगह शून्य की ओर ले जाकर, नेटवर्क पूर्ण वेग और दबाव क्षेत्रों का पुनर्निर्माण करता है और लसकता जैसे अज्ञात मापदंडों का अनुमान लगाता है, भले ही केवल 40 शोरयुक्त पाठ्यों से ही हो।

Tegangan geser dinding adalah gesekan yang diberikan oleh darah pada dinding pembuluh darah. Ini terkait dengan tempat plak menumpuk, dan sulit diukur secara langsung. Yang bisa didapatkan oleh klinik, misalnya dengan ultrasonografi Doppler, adalah kecepatan di beberapa titik di dalam pembuluh darah. Oleh karena itu, pertanyaan dalam artikel ini adalah apakah jaringan saraf dapat mengambil kecepatan yang tersebar dan berisik tersebut, bersama-sama dengan persamaan aliran fluida, dan memberikan kembali medan aliran lengkap dan tegangan geser dinding. Jaringan saraf yang diberi informasi fisika (PINN) adalah pilihan yang alami. Saya membangun satu menggunakan Py Torch murni, tanpa Deep XDE atau library PINN lainnya, untuk arteri 2D dengan penyempitan (stenosis). Dari 40 pembacaan kecepatan, ia merekonstruksi medan kecepatan dan tekanan serta wilayah aliran terbalik di belakang penyempitan. Ia juga menghitung viskositas fluida, yang saya anggap sebagai tidak diketahui, dan tegangan geser dindingnya mengikuti referensi CFD dengan sangat dekat.

Arteri tersebut adalah saluran 2D dengan tinggi H yang terdapat kembang licin pada dinding bawah yang menutup setengah dari pembukaan, yaitu stenosis sebesar 50%. Alirannya adalah Navier-Stokes tidak dapat dikompresi pada nomor Reynolds 200, dengan panjang yang diukur dalam tinggi saluran dan kecepatan dalam kecepatan masuk. Ini merupakan aliran yang lambat, berada di ujung bawah dari yang terjadi pada arteri karotid. Dalam satuan ini, viskositas kinematik adalah 0.005. Untuk menilai rekonstruksi, Anda perlu mengetahui jawaban yang benar, sehingga saya menghasilkannya. Solver Navier-Stokes yang saya tulis menghitung aliran tetap, dan PINN hanya pernah mendapatkan 40 pembacaan berisik yang diambil dari solusi tersebut. Kebisaran adalah Gaussian, sebesar 7% dari kecepatan masuk.

Jaringan saraf tersebut adalah MLP sederhana dengan 6 lapisan yang masing-masing terdiri dari 32 unit tanh, sekitar 5.500 bobot. Ia menggunakan tanh karena persamaan momentum memerlukan turunan kedua dari output. Masukan diskalakan ke dalam rentang -1 hingga 1 di dalam jaringan saraf, sehingga autograd masih dapat melakukan diferensiasi terhadap koordinat fisika. Di sini, PINN memetakan koordinat ke kuantitas fisika: (x, y) -> (u, v, p): dua komponen kecepatan dan tekanan. Fungsi kerugian memiliki suku yang sesuai dengan pengukuran, seperti masalah invers, plus satu suku yang mengarahkan sisa Navier-Stokes menuju nol di mana-mana. Ini adalah artikel pertama dalam rangkaian tentang PINN untuk aliran blood.

Entitas Utama: Perusahaan: Towards Data Science, Py Torch

壁せん断応力とは、血管壁に血液が及ぼす摩擦力のことです。これはプラークが蓄積する場所と関連しており、直接測定するのは困難です。クリニックが得られるものとして、たとえばドップラー超音波によるものでは、血管内のいくつかのポイントでの流速があります。そこでこの記事の問いは、これらの散らばったノイズの多い流速データと流体力学の方程式を組み合わせることで、ニューラルネットワークが完全な流動場と壁面のせん断応力を推定できるかということです。物理情報ニューラルネットワーク（PINN）は自然な選択肢です。私はDeep XDEやその他のPINNライブラリを使わず、純粋なPy Torchでこれを構築しました。狭窄（ステノーシス）のある2D動脈モデルに対して、40点の流速測定から速度場と圧力場、および狭窄後の逆流領域を再構築します。さらに、未知と仮定した流体の粘度も推定し、その結果得られる壁せん断応力はCFD参照値とよく一致します。

この動脈は高さHの2Dチャネルで、下壁に半分の開口を塞ぐ滑らかな突起があり、つまり50%の狭窄（ステノーシス）です。流れはレイノルズ数200の非圧縮ナビエ-ストークス流で、長さはチャネルの高さを単位とし、速度は入口速度を単位とします。これは頸動脈における流れの低い方に該当する遅い流れです。これらの単位では、運動粘度は0.005です。再構築の精度を評価するために正解が必要なので、私はナビエ-ストークスソルバーを自作して基準解を生成しました。このソルバーが計算した定常流から、ガウスノイズ（入口速度の7%）を加えた40点のデータのみをPINNに入力します。

ネットワークは32つのtanhユニットを持つ6層のMLPで、約5,500の重みがあります。tanhを使用するのは、運動量方程式が出力の2階導関数を必要とするためです。入力はネットワーク内部で-1から1の範囲に再スケーリングされ、それによって自動微分（autograd）が物理座標に関して微分を計算し続けます。ここでは、PINNは座標(x, y)を物理量(u, v, p)（x方向速度、y方向速度、圧力）にマッピングします。損失関数には、測定データに適合させる項（逆問題として）と、ナビエ-ストークスの残差をどこでもゼロに近づける項があります。これは、血流におけるPINNの応用についてのシリーズ記事の第1弾です。

主要なエンティティ: 企業: Towards Data Science, Py Torch

よくある質問: 疎でノイズの多い速度測定から血流を復元するのにPINNが適している理由は何ですか？

物理情報ニューラルネットワーク（PINN）は、疎でノイズの多い速度測定値を支配するナビエ-ストークス方程式と組み合わせ、これを損失関数におけるソフト制約として扱います。ナビエ-ストークスの残差をどこでもゼロに近づけることで、ネットワークは完全な速度場と圧力場を再構築し、粘度などの未知パラメータを推定することができます。たとえ40個のノイズの多い測定値しかなくてもです。

O esforço de cisalhamento de parede é o atrito que o sangue exerce na parede de um vaso. Está relacionado ao local onde a placa se acumula e é difícil de medir diretamente. O que uma clínica pode obter, por exemplo com ultrassom Doppler, é a velocidade em poucos pontos dentro do vaso. Então, a pergunta deste artigo é se uma rede neural pode tomar essas velocidades esparsas e ruidosas, juntamente com as equações de fluxo de fluidos, e retornar todo o campo de fluxo e o esforço de cisalhamento de parede. Uma rede neural informada pela física (PINN) é uma escolha natural. Construí uma em Py Torch puro, sem Deep XDE ou qualquer outra biblioteca PINN, para uma artéria 2D com um estreitamento (uma estenose). A partir de 40 leituras de velocidade, ela reconstrói os campos de velocidade e pressão e a região de fluxo invertido atrás do estreitamento. Também calcula a viscosidade do fluido, que eu tratei como desconhecida, e seu esforço de cisalhamento de parede segue de perto a referência de CFD.

A artéria é um canal 2D de altura H com um saliência lisa na parede inferior que bloqueia metade da abertura, uma estenose de 50%. O fluxo é Navier-Stokes incompressível em um número de Reynolds de 200, com comprimentos medidos em alturas de canal e velocidades em velocidades de entrada. Esse é um fluxo lento, na extremidade baixa do que ocorre em uma artéria carótida. Nessas unidades, a viscosidade cinemática é 0,005. Para pontuar uma reconstrução, você precisa saber a resposta correta, então eu a geri. Um solucionador de Navier-Stokes que escrevi calcula o fluxo estacionário, e a PINN obtém apenas 40 leituras ruidosas retiradas dessa solução. O ruído é gaussiano, em 7% da velocidade de entrada.

A rede é um MLP simples com 6 camadas de 32 unidades tanh, aproximadamente 5.500 pesos. Ela usa tanh porque a equação de momento precisa de segundas derivadas da saída. As entradas são reescaladas para o intervalo [-1, 1] dentro da rede, de modo que o autograd ainda deriva em relação às coordenadas físicas. Uma PINN mapeia coordenadas para grandezas físicas aqui: (x, y) -> (u, v, p): dois componentes de velocidade e a pressão. A perda tem um termo que ajusta as medições, como um problema inverso, mais um termo que impulsiona o resíduo de Navier-Stokes para zero em todos os lugares. Este é o primeiro artigo de uma série sobre PINNs para fluxo sanguíneo.

Entidades-chave: Empresas: Towards Data Science, Py Torch

Perguntas Frequentes: O que torna uma PINN adequada para recuperar o fluxo sanguíneo a partir de medições de velocidade esparsas?

Uma rede neural informada pela física (PINN) combina medições de velocidade esparsas e ruidosas com as equações governantes de Navier-Stokes como restrições suaves na função de perda. Ao impulsionar o resíduo de Navier-Stokes para zero em todos os lugares, a rede reconstrói os campos completos de velocidade e pressão e infere parâmetros desconhecidos como a viscosidade, mesmo a partir de apenas 40 leituras ruidosas.

Напряжение сдвига стенки — это трение, которое кровь оказывает на стенку сосуда. Оно связано с местом накопления бляшек и его трудно измерить напрямую. То, что может получить клиника, например, с помощью допплеровского ультразвука, — это скорость в нескольких точках внутри сосуда. Таким образом, вопрос этой статьи заключается в том, может ли нейронная сеть взять эти редкие и шумные измерения скорости, вместе с уравнениями течения жидкости, и восстановить полностью поле течения и напряжение сдвига на стенке. Физически информативная нейронная сеть (PINN) — это естественный выбор. Я создал одну на чистом Py Torch, без Deep XDE или любой другой библиотеки PINN, для 2D артерии с сужением (стенозом). Из 40 измерений скорости она восстанавливает поля скорости и давления и область обратного течения за сужением. Она также определяет вязкость жидкости, которую я рассматривал как неизвестную, и ее напряжение сдвига стенки тесно следует за эталоном CFD.

Артерия представляет собой 2D-канал высотой H с гладким выступом на нижней стенке, перекрывающим половину просвета, то есть стенозом 50%. Поток — несжимаемые уравнения Навье-Стокса при числе Рейнольдса 200, с длинами, измеряемыми в высотах канала, и скоростями — в скоростях на входе. Это медленный поток, находясь в нижней части того, что происходит в сонной артерии. В этих единицах кинематическая вязкость равна 0.005. Чтобы оценить реконструкцию, нужно знать правильный ответ, поэтому я его сгенерировал. Решатель уравнений Навье-Стокса, который я написал, вычисляет установившийся поток, а PINN получает только 40 шумных измерений, взятых из этого решения. Шум гауссовский, составляющий 7% от скорости на входе.

Сеть представляет собой простой MLP с 6 слоями по 32 нейрона с функцией активации tanh, примерно 5500 весов. Она использует tanh, потому что уравнение импульса требует вторых производных от выхода. Входы масштабируются в диапазон [-1, 1] внутри сети, поэтому autograd по-прежнему дифференцирует относительно физических координат. Здесь PINN отображает координаты в физические величины: (x, y) -> (u, v, p): два компонента скорости и давление. Функция потерь содержит член, который подгоняет измерения, как обратная задача, плюс член, который стремится сделать остаток Навье-Стокса равным нулю везде. Это первая статья в серии о PINN для кровотока.

Ключевые сущности: Компании: Towards Data Science, Py Torch

Часто задаваемые вопросы: Что делает PINN подходящей для восстановления кровотока из редких измерений скорости?

Физически информативная нейронная сеть (PINN) объединяет редкие шумные измерения скорости с управляющими уравнениями Навье-Стокса как мягкие ограничения в функции потерь. Сводя остаток Навье-Стокса к нулю везде, сеть восстанавливает полностью поля скорости и давления и выводит неизвестные параметры, такие как вязкость, даже из всего 40 шумных измерений.

壁剪应力是血液对血管壁的摩擦力。它与斑块堆积位置相关，且难以直接测量。诊所可通过多普勒超声等手段获得血管内少数几个点的流速。因此，本文探讨的问题是：神经网络能否将这些散落的、噪声的流速与流体运动方程结合，重建完整的流动场和壁面剪应力？物理信息神经网络(PINN)是一个自然的选择。我使用纯Py Torch构建了一个PINN，未使用Deep XDE或其他PINN库，用于模拟具有狭窄（ stenosis ）的2D动脉。从40个流速读取值中，它重建了速度和压力场以及狭窄后方的逆流区域。它还求解了流体的粘度（我将其视为未知量），且其壁剪应力与CFD参考解高度一致。

该动脉是一个高度为H的2D通道，下壁有一个光滑的凸起，阻塞了半个开口，即50%的狭窄。流动为不可压缩纳维-斯托克斯流，雷诺数为200，长度以通道高度为单位，速度以入口速度为单位。这是一种缓慢流动，处于颈动脉流动的低端。在这些单位下，运动粘度为0.005。为了评价重建效果，需要知道正确答案，因此我生成了参考解。我编写的纳维-斯托克斯求解器计算了稳态流动，而PINN仅从该解中获取40个带噪声的读取值。噪声为高斯噪声，幅度为入口速度的7%。

网络是一个普通的MLP，包含6层，每层32个tanh单元，约5500个权重。它使用tanh是因为动量方程需要输出的二阶导数。输入被重新缩放到网络内部的-1到1范围，这样autograd仍能相对于物理坐标进行求导。在这里，PINN将坐标映射到物理量：(x, y) -> (u, v, p)，即两个速度分量和压力。损失函数包含一个用于拟合测量值的项（类似逆问题），以及一个使纳维-斯托克斯残差在全域趋近于零的项。这是关于PINNs在血流应用中的系列文章的第一篇。

关键实体：公司：Towards Data Science, Py Torch

FAQ：什么使得PINN适合从稀疏速度测量中恢复血流？

物理信息神经网络(PINN)将稀疏噪声速度测量与控制纳维-斯托克斯方程作为软约束融入损失函数。通过使纳维-斯托克斯残差在全域趋近于零，网络重建了完整的速度和压力场，并推断出未知参数如粘度，即使仅从40个噪声读取值中也能实现。