A Visual Intro to Complex Numbers

We start by trying to solve a system of two equations, but plugging in whole and real numbers reveals a dilemma: the answers always seem to sway far apart. Negative numbers do not help either, since no two negative numbers multiply to a positive result that can offset the difference.

So we turn to algebra. We rearrange the first equation to solve for y, substitute it into the second, expand, and rewrite the result in standard quadratic form. The resulting graph never crosses zero on the x-axis, which suggests the equation has no real solution. Applying the quadratic formula confirms the problem: the square root of a negative number (-108) appears, which the real number system cannot handle. We have hit a wall.

This same wall stopped the Italian mathematician Gerolamo Cardano in 1545. While developing general solutions to cubic equations, he found that even when an equation yielded a real, tangible answer, the algebraic path forced him to calculate the square root of a negative number. In Ars Magna, published that same year, he asked readers to divide 10 into two parts whose product was 40.

Applying the quadratic formula to that problem produced a root of -15, which seemed impossible to nearly every mathematician of his time. Cardano discovered that if he stubbornly followed the standard rules of algebra with these forbidden quantities, the imaginary parts would eventually vanish, leaving a perfectly accurate real solution. That discovery opened the door to complex numbers.

نبدأ بمحاولة حل نظام من معادلتين، لكن إدخال الأعداد الصحيحة والحقيقية يكشف معضلة: الإجابات تبدو دائمًا متباعدة. ولا تفيد الأعداد السالبة هنا، إذ لا يعطي أي عددين سالبين حاصل ضرب موجبًا يمكنه تعويض هذا الفارق.

لذلك نلجأ إلى الجبر. نعيد ترتيب المعادلة الأولى لإيجاد y، ثم نعوضها في الثانية، ونفك الأقواس، ونعيد كتابة الناتج في الصيغة التربيعية القياسية. الرسم البياني الناتج لا يقطع المحور السيني أبدًا، مما يوحي بأن المعادلة لا تملك حلًا حقيقيًا. وتطبيق القانون التربيعي يؤكد المشكلة: يظهر الجذر التربيعي لعدد سالب (-108)، وهو ما لا يستطيع نظام الأعداد الحقيقية التعامل معه. لقد اصطدمنا بحائط.

أوقف هذا الحائط نفسه عالم الرياضيات الإيطالي جيرولامو كاردانو عام 1545. فأثناء وضعه حلولًا عامة للمعادلات التكعيبية، اكتشف أنه حتى حين تعطي المعادلة إجابة حقيقية ملموسة، فإن المسار الجبري يجبره على حساب الجذر التربيعي لعدد سالب. وفي كتاب Ars Magna الذي نُشر في العام نفسه، طلب من القراء تقسيم العدد 10 إلى جزأين حاصل ضربهما 40.

تطبيق القانون التربيعي على تلك المسألة أعطى جذرًا يساوي -15، وهو ما بدا مستحيلًا لكل تقريبًا من علماء الرياضيات في زمنه. اكتشف كاردانو أنه إذا التزم بقواعد الجبر المعيارية بعناد مع هذه الكميات المحظورة، فإن الأجزاء التخيلية ستختفي في النهاية، تاركةً حلًا حقيقيًا دقيقًا تمامًا. وقد فتح هذا الاكتشاف الباب أمام الأعداد المركبة.

আমরা দুটি সমীকরণের একটি ব্যবস্থা সমাধান করার চেষ্টা দিয়ে শুরু করি, কিন্তু পূর্ণ ও বাস্তব সংখ্যা বসালে একটি দ্বিধা দেখা দেয়: উত্তরগুলো যেন সর্বদা একে অপরের থেকে দূরে সরে যায়। ঋণাত্মক সংখ্যাও সাহায্য করে না, কারণ এমন কোনো দুটি ঋণাত্মক সংখ্যা নেই যাদের গুণফল এমন ধনাত্মক ফল দেয় যা এই পার্থক্যকে সমন্বয় করতে পারে।

তাই আমরা বীজগণিতের দিকে ফিরি। প্রথম সমীকরণটিকে y-এর জন্য সাজাই, তা দ্বিতীয়টিতে বসাই, বিস্তার করি এবং ফলাফলটিকে আদর্শ দ্বিঘাত আকারে লিখি। প্রাপ্ত লেখচিত্র x-অক্ষকে কখনো শূন্যে ছেদ করে না, যা ইঙ্গিত দেয় যে এই সমীকরণের কোনো বাস্তব সমাধান নেই। দ্বিঘাত সূত্র প্রয়োগ সমস্যাটি নিশ্চিত করে: একটি ঋণাত্মক সংখ্যার (-108) বর্গমূল আসে, যা বাস্তব সংখ্যা ব্যবস্থা সামলাতে পারে না। আমরা একটি দেয়ালে ঠেকে গেছি।

এই একই দেয়ালে ১৫৪৫ সালে ইতালীয় গণিতবিদ Gerolamo Cardano থমকে গিয়েছিলেন। ঘন সমীকরণের সাধারণ সমাধান উদ্ভাবনের সময় তিনি দেখেন, একটি সমীকরণ বাস্তব, স্পষ্ট উত্তর দিলেও বীজগণিতীয় পথ তাঁকে একটি ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূল গণনা করতে বাধ্য করে। একই বছর প্রকাশিত Ars Magna-তে তিনি পাঠকদের বলেন, ১০-কে এমনভাবে দুটি অংশে ভাগ করতে, যাদের গুণফল ৪০ হয়।

সেই সমস্যায় দ্বিঘাত সূত্র প্রয়োগ করে -১৫ মূল পাওয়া যায়, যা তাঁর সময়ের প্রায় প্রতিটি গণিতবিদের কাছে অসম্ভব মনে হয়েছিল। Cardano আবিষ্কার করেন যে, এই নিষিদ্ধ রাশিগুলোর সঙ্গে বীজগণিতের আদর্শ নিয়ম একগুঁয়েভাবে মেনে চললে কাল্পনিক অংশগুলো শেষ পর্যন্ত বিলুপ্ত হয়ে যায়, এবং একটি নিখুঁত বাস্তব সমাধান অবশিষ্ট থাকে। এই আবিষ্কার জটিল সংখ্যার পথ খুলে দেয়।

Wir beginnen mit dem Versuch, ein System aus zwei Gleichungen zu lösen, doch beim Einsetzen ganzer und reeller Zahlen zeigt sich ein Dilemma: Die Antworten scheinen sich immer weit voneinander zu entfernen. Auch negative Zahlen helfen nicht weiter, denn kein Paar negativer Zahlen ergibt beim Multiplizieren ein positives Ergebnis, das den Unterschied ausgleichen könnte.

Deshalb wenden wir uns der Algebra zu. Wir formen die erste Gleichung so um, dass wir y erhalten, setzen sie in die zweite ein, multiplizieren aus und schreiben das Ergebnis in die übliche quadratische Form. Der entstehende Graph schneidet die x-Achse nie bei null, was darauf hindeutet, dass die Gleichung keine reelle Lösung besitzt. Die Anwendung der quadratischen Formel bestätigt das Problem: Es tritt die Quadratwurzel einer negativen Zahl (-108) auf, mit der das System der reellen Zahlen nicht umgehen kann. Wir sind gegen eine Wand gestoßen.

Dieselbe Wand brachte den italienischen Mathematiker Gerolamo Cardano im Jahr 1545 zum Stillstand. Bei der Entwicklung allgemeiner Lösungen für kubische Gleichungen stellte er fest, dass selbst dann, wenn eine Gleichung eine reelle, greifbare Antwort lieferte, der algebraische Weg ihn zwang, die Quadratwurzel einer negativen Zahl zu berechnen. In der im selben Jahr erschienenen Ars Magna bat er seine Leser, 10 in zwei Teile zu zerlegen, deren Produkt 40 ergibt.

Die Anwendung der quadratischen Formel auf dieses Problem lieferte eine Wurzel von -15, was nahezu jedem Mathematiker seiner Zeit unmöglich erschien. Cardano entdeckte, dass sich die imaginären Anteile schließlich aufheben, wenn man hartnäckig den üblichen Algebraregeln mit diesen verbotenen Größen folgt, und eine völlig korrekte reelle Lösung übrig bleibt. Diese Entdeckung öffnete die Tür zu den komplexen Zahlen.

Empezamos intentando resolver un sistema de dos ecuaciones, pero al sustituir números enteros y reales aparece un dilema: las respuestas parecen alejarse siempre entre sí. Los números negativos tampoco ayudan, ya que ningún par de negativos se multiplica para dar un resultado positivo que compense la diferencia.

Así que recurrimos al álgebra. Despejamos y en la primera ecuación, la sustituimos en la segunda, desarrollamos y reescribimos el resultado en la forma cuadrática estándar. La gráfica resultante nunca cruza el cero en el eje x, lo que sugiere que la ecuación no tiene solución real. Aplicar la fórmula cuadrática confirma el problema: aparece la raíz cuadrada de un número negativo (-108), que el sistema de números reales no puede manejar. Hemos topado con un muro.

Este mismo muro detuvo al matemático italiano Gerolamo Cardano en 1545. Mientras desarrollaba soluciones generales para las ecuaciones cúbicas, descubrió que, incluso cuando una ecuación producía una respuesta real y tangible, el camino algebraico lo obligaba a calcular la raíz cuadrada de un número negativo. En Ars Magna, publicada ese mismo año, pidió a los lectores que dividieran 10 en dos partes cuyo producto fuera 40.

Aplicar la fórmula cuadrática a ese problema producía una raíz de -15, algo que casi todos los matemáticos de su época consideraban imposible. Cardano descubrió que, si seguía obstinadamente las reglas estándar del álgebra con estas cantidades prohibidas, las partes imaginarias acabarían desapareciendo, dejando una solución real perfectamente exacta. Ese descubrimiento abrió la puerta a los números complejos.

Nous commençons par essayer de résoudre un système de deux équations, mais en y substituant des nombres entiers et réels, un dilemme apparaît : les réponses semblent toujours s'éloigner les unes des autres. Les nombres négatifs ne sont pas d'un grand secours non plus, puisque deux nombres négatifs ne peuvent se multiplier pour donner un résultat positif capable de compenser cet écart.

Nous nous tournons donc vers l'algèbre. Nous réarrangeons la première équation pour exprimer y, la substituons dans la seconde, développons, puis réécrivons le résultat sous la forme quadratique standard. Le graphe obtenu ne coupe jamais l'axe des abscisses, ce qui suggère que l'équation n'a pas de solution réelle. L'application de la formule quadratique confirme le problème : la racine carrée d'un nombre négatif (-108) apparaît, que le système des nombres réels ne peut pas traiter. Nous nous heurtons à un mur.

Ce même mur arrêta le mathématicien italien Gerolamo Cardano en 1545. En élaborant des solutions générales aux équations cubiques, il constata que, même lorsqu'une équation donnait une réponse réelle et tangible, la démarche algébrique le contraignait à calculer la racine carrée d'un nombre négatif. Dans Ars Magna, publié la même année, il demanda aux lecteurs de diviser 10 en deux parties dont le produit serait 40.

L'application de la formule quadratique à ce problème donna une racine de -15, ce qui semblait impossible à presque tous les mathématiciens de son temps. Cardano découvrit que, s'il appliquait obstinément les règles standard de l'algèbre à ces quantités interdites, les parties imaginaires finissaient par disparaître, laissant une solution réelle parfaitement exacte. Cette découverte ouvrit la porte aux nombres complexes.

हम दो समीकरणों के एक तंत्र को हल करने का प्रयास करके शुरू करते हैं, लेकिन पूर्ण और वास्तविक संख्याएँ डालने पर एक दुविधा सामने आती है: उत्तर हमेशा एक-दूसरे से काफ़ी दूर जाते दिखते हैं। ऋणात्मक संख्याएँ भी मदद नहीं करतीं, क्योंकि कोई भी दो ऋणात्मक संख्याएँ ऐसा धनात्मक परिणाम नहीं देतीं जो इस अंतर को संतुलित कर सके।

इसलिए हम बीजगणित की ओर मुड़ते हैं। हम पहले समीकरण को y के लिए हल करने हेतु पुनर्व्यवस्थित करते हैं, उसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, विस्तार करते हैं, और परिणाम को मानक द्विघात रूप में लिखते हैं। प्राप्त आलेख x-अक्ष को कभी शून्य पर नहीं काटता, जो बताता है कि इस समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है। द्विघात सूत्र लगाने पर यह समस्या पक्की हो जाती है: ऋणात्मक संख्या (-108) का वर्गमूल सामने आता है, जिसे वास्तविक संख्या प्रणाली संभाल नहीं सकती। हम एक दीवार से टकरा गए हैं।

यही दीवार 1545 में इतालवी गणितज्ञ Gerolamo Cardano के सामने भी आई थी। घन समीकरणों के सामान्य हल विकसित करते समय उन्होंने पाया कि भले ही कोई समीकरण एक वास्तविक, ठोस उत्तर दे, फिर भी बीजगणितीय मार्ग उन्हें ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल निकालने पर मजबूर करता है। उसी वर्ष प्रकाशित Ars Magna में उन्होंने पाठकों से कहा कि 10 को दो ऐसे भागों में बाँटें जिनका गुणनफल 40 हो।

उस समस्या पर द्विघात सूत्र लगाने से -15 का मूल मिला, जो उनके समय के लगभग हर गणितज्ञ को असंभव लगा। Cardano ने पाया कि यदि वे इन वर्जित राशियों के साथ बीजगणित के मानक नियमों का हठपूर्वक पालन करें, तो काल्पनिक भाग अंततः लुप्त हो जाते हैं और एक पूर्णतः सटीक वास्तविक हल बच जाता है। इस खोज ने जटिल संख्याओं का द्वार खोल दिया।

Kita mulai dengan mencoba menyelesaikan sistem dua persamaan, tetapi ketika bilangan bulat dan real disubstitusikan, muncul dilema: jawabannya selalu tampak menjauh satu sama lain. Bilangan negatif juga tidak membantu, sebab tidak ada dua bilangan negatif yang jika dikalikan menghasilkan bilangan positif yang dapat menutupi selisih tersebut.

Maka kita beralih ke aljabar. Kita menata ulang persamaan pertama untuk mencari y, mensubstitusikannya ke persamaan kedua, menjabarkannya, dan menuliskan hasilnya dalam bentuk kuadrat standar. Grafik yang dihasilkan tidak pernah memotong sumbu x di nol, yang menunjukkan bahwa persamaan tersebut tidak memiliki solusi real. Penerapan rumus kuadrat mengonfirmasi masalah ini: muncul akar kuadrat dari bilangan negatif (-108), yang tidak dapat ditangani oleh sistem bilangan real. Kita telah menemui jalan buntu.

Jalan buntu yang sama menghentikan matematikawan Italia Gerolamo Cardano pada tahun 1545. Saat mengembangkan solusi umum untuk persamaan kubik, ia menemukan bahwa meskipun suatu persamaan menghasilkan jawaban real yang nyata, jalur aljabarnya memaksanya menghitung akar kuadrat dari bilangan negatif. Dalam Ars Magna, yang terbit pada tahun yang sama, ia meminta pembaca membagi 10 menjadi dua bagian yang hasil kalinya 40.

Penerapan rumus kuadrat pada soal tersebut menghasilkan akar -15, yang tampak mustahil bagi hampir setiap matematikawan pada masanya. Cardano menemukan bahwa jika ia dengan gigih mengikuti aturan aljabar standar pada kuantitas terlarang ini, bagian imajiner pada akhirnya akan lenyap, meninggalkan solusi real yang sepenuhnya akurat. Penemuan itu membuka pintu menuju bilangan kompleks.

まず二つの方程式からなる連立方程式を解こうとしますが、整数や実数を代入すると、ある問題が浮かび上がります。答えはいつもかけ離れているように見えるのです。負の数も助けにはなりません。二つの負の数をかけても、その差を埋められるような正の結果は得られないからです。

そこで代数に目を向けます。最初の式をyについて解き、二つ目の式に代入して展開し、結果を標準的な二次形式に書き直します。得られたグラフはx軸と交わることがなく、この方程式に実数解がないことを示唆しています。二次方程式の解の公式を適用すると、その問題がはっきりします。負の数(-108)の平方根が現れ、実数の体系ではこれを扱えないのです。私たちは壁にぶつかりました。

この同じ壁に、1545年、イタリアの数学者ジロラモ・カルダーノも行く手を阻まれました。三次方程式の一般解を導く過程で、彼は、方程式が実在する明確な答えを与える場合でも、代数的な道筋では負の数の平方根を計算せざるを得ないことに気づきました。同じ年に出版された『アルス・マグナ』で、彼は読者に、積が40になる二つの部分に10を分けるよう問いかけています。

この問題に二次方程式の解の公式を適用すると、-15という根が得られました。これは当時のほぼすべての数学者にとって不可能に思えるものでした。カルダーノは、こうした禁じられた量に対して代数の標準的な規則を頑なに適用し続けると、虚数部分は最終的に消え、完全に正確な実数解が残ることを発見しました。この発見が複素数への扉を開いたのです。

Começamos tentando resolver um sistema de duas equações, mas ao substituir números inteiros e reais surge um dilema: as respostas parecem sempre se afastar umas das outras. Os números negativos também não ajudam, pois nenhum par de negativos se multiplica para dar um resultado positivo capaz de compensar a diferença.

Então recorremos à álgebra. Isolamos y na primeira equação, substituímos na segunda, expandimos e reescrevemos o resultado na forma quadrática padrão. O gráfico resultante nunca cruza o zero no eixo x, o que sugere que a equação não tem solução real. Aplicar a fórmula de Bhaskara confirma o problema: surge a raiz quadrada de um número negativo (-108), que o sistema dos números reais não consegue tratar. Chegamos a um impasse.

Esse mesmo impasse deteve o matemático italiano Gerolamo Cardano em 1545. Ao desenvolver soluções gerais para equações cúbicas, ele descobriu que, mesmo quando uma equação produzia uma resposta real e tangível, o caminho algébrico o forçava a calcular a raiz quadrada de um número negativo. Em Ars Magna, publicada naquele mesmo ano, ele pediu aos leitores que dividissem 10 em duas partes cujo produto fosse 40.

Aplicar a fórmula quadrática a esse problema produziu uma raiz de -15, algo que pareceu impossível a quase todos os matemáticos de sua época. Cardano descobriu que, se seguisse teimosamente as regras padrão da álgebra com essas quantidades proibidas, as partes imaginárias acabariam desaparecendo, deixando uma solução real perfeitamente exata. Essa descoberta abriu a porta para os números complexos.

Мы начинаем с попытки решить систему из двух уравнений, но подстановка целых и действительных чисел выявляет дилемму: ответы всегда как будто расходятся далеко друг от друга. Отрицательные числа тоже не помогают, поскольку никакие два отрицательных числа не дают при умножении положительного результата, способного компенсировать эту разницу.

Поэтому мы обращаемся к алгебре. Выражаем y из первого уравнения, подставляем во второе, раскрываем скобки и приводим результат к стандартному квадратному виду. Полученный график никогда не пересекает ось x в нуле, что указывает на отсутствие действительного решения. Применение формулы корней квадратного уравнения подтверждает проблему: появляется квадратный корень из отрицательного числа (-108), с которым система действительных чисел не может работать. Мы упёрлись в стену.

Эта же стена остановила итальянского математика Джироламо Кардано в 1545 году. Разрабатывая общие решения кубических уравнений, он обнаружил, что даже когда уравнение давало реальный, осязаемый ответ, алгебраический путь заставлял его вычислять квадратный корень из отрицательного числа. В Ars Magna, опубликованной в том же году, он предложил читателям разделить 10 на две части, произведение которых равно 40.

Применение формулы корней квадратного уравнения к этой задаче дало корень -15, что казалось невозможным почти всем математикам того времени. Кардано обнаружил, что если упорно следовать стандартным правилам алгебры с этими запретными величинами, мнимые части в конце концов исчезают, оставляя совершенно точное действительное решение. Это открытие открыло дорогу комплексным числам.

我们首先尝试求解一个由两个方程组成的方程组,但代入整数和实数后,会出现一个难题:得出的答案似乎总是相距甚远。负数也无济于事,因为没有两个负数相乘能得到一个正数来抵消这种差异。

于是我们转向代数。我们将第一个方程变形以求出 y,将其代入第二个方程,展开后再将结果改写为标准二次型。得到的图像从未与 x 轴相交于零点,这表明该方程没有实数解。应用二次公式可以证实这一问题:出现了负数 (-108) 的平方根,而实数系统无法处理它。我们撞上了一堵墙。

1545 年,意大利数学家 Gerolamo Cardano 同样被这堵墙挡住了。在研究三次方程的通用解法时,他发现即使方程能得出一个真实可见的答案,代数推导的过程仍然迫使他去计算负数的平方根。同年出版的 《大术》(Ars Magna) 中,他请读者将 10 分成两部分,使其乘积为 40。

将二次公式应用于这一问题,得到的根为 -15,这在当时几乎所有数学家看来都是不可能的。Cardano 发现,如果他固执地按照标准代数规则处理这些被禁止的量,虚部最终会消失,留下一个完全正确的实数解。这一发现为复数打开了大门。