Subquadratic 3SUM and Subcubic APSP

We give the first polynomial improvements over the textbook algorithms for 3SUM and All-Pairs Shortest Paths (APSP): we show how to deterministically solve 3SUM on n integers of polynomial size in O(n^{1.9992}) time and APSP on directed n-vertex graphs with polynomially bounded integer weights in O(n^{2.9995}) time. This refutes the 3SUM and APSP hypotheses. Using known reductions, we also refute the real-valued versions of the 3SUM and APSP hypotheses, the Exact Triangle hypothesis, the Zero-Weight k-Clique hypotheses, and the three rectangular hinted Online Matrix--Vector conjectures of van den Brand, Nanongkai, and Saranurak, and we give polynomial speedups for a variety of other problems.

All of these results follow from a single new algorithm for thin matrix products. Let X be an N×D integer matrix and Y a D×N integer matrix with D ≤ N^{1/18}, and let W be any set of at most N^2/√D positions. We compute the entries (XY)[I, J], (I, J)∈W, in O(N^2/D^{0.063}) operations, which is polynomially less than the time needed to write down XY or to compute N^2/√D inner products one by one.

We design this algorithm by modifying a variant of Coppersmith's rectangular matrix multiplication algorithm, built from a ten-multiplication identity of Schönhage, to perform only the operations needed for the entries in W, and show that few operations are needed. Interpreted as a graph algorithm, this solves the All-Edges Sparse Triangle problem in truly subquadratic time on sparse lopsided tripartite graphs where two parts have n vertices but one part has n^{ε} vertices for ε<0.12. By known reductions, Exact Triangle, and hence 3SUM and APSP, reduce to this problem.

We also give a data structure version that answers queries for single entries of XY, not known in advance. Submission history From: Josh Alman [view email] [v1]Mon, 5 Oct 2026 17:44:29 UTC (93 KB).

نقدم أول تحسينات متعددة الحدود على الخوارزميات القياسية لـ 3SUM وأقصر المسارات بين جميع الأزواج (APSP): نعرض كيفية حل 3SUM حتميًا على n أعداد صحيحة بحجم متعدد الحدود في زمن O(n^{1.9992}) وAPSP على رسوم بيانية موجهة برؤوس n بأوزان صحيحة محدودة متعددة الحدود في زمن O(n^{2.9995}). هذا يدحض فرضيات 3SUM وAPSP. باستخدام اختزالات معروفة، ندحض أيضًا النسخ ذات القيمة الحقيقية لفرضيات 3SUM وAPSP، وفرضية المثلث الدقيق، وفرضيات k-زمرة ذات الوزن الصفري، والتخمينات الثلاثة المستطيلة الموجهة لمصفوفة-متجه عبر الإنترنت لـ van den Brand وNanongkai وSaranurak، ونقدم تسريعات متعددة الحدود لمجموعة متنوعة من المشكلات الأخرى. كل هذه النتائج تتبع من خوارزمية جديدة واحدة لمنتجات المصفوفات الرقيقة. لتكن X مصفوفة أعداد صحيحة N×D وY مصفوفة أعداد صحيحة D×N مع D ≤ N^{1/18}، ولتكن W أي مجموعة من على الأكثر N^2/√D موضعًا. نحسب الإدخالات (XY)[I, J]، (I, J)∈W، في O(N^2/D^{0.063}) عملية، وهو أقل متعدد الحدود من الوقت اللازم لكتابة XY أو لحساب N^2/√D منتجًا داخليًا واحدًا تلو الآخر. نصمم هذه الخوارزمية بتعديل متغير من خوارزمية ضرب المصفوفات المستطيلة لـ Coppersmith، المبنية من هوية عشر عمليات ضرب لـ Schönhage، لتنفيذ العمليات اللازمة فقط للإدخالات في W، ونظهر أن هناك حاجة لعمليات قليلة. عند تفسيرها كخوارزمية رسم بياني، تحل هذه مشكلة المثلث المتناثر لجميع الحواف في زمن شبه تربيعي حقيقي على رسوم بيانية ثلاثية الأجزاء متناثرة غير متوازنة حيث يحتوي جزءان على n رؤوس لكن جزءًا واحدًا يحتوي على n^{ε} رؤوس لـ ε<0.12. بواسطة اختزالات معروفة، المثلث الدقيق، وبالتالي 3SUM وAPSP، تختزل إلى هذه المشكلة. نقدم أيضًا نسخة بنية بيانات تجيب على استعلامات لإدخالات فردية من XY، غير معروفة مسبقًا. تاريخ التقديم: من Josh Alman [عرض البريد الإلكتروني] [v1]الاثنين، 5 أكتوبر 2026 17:44:29 UTC (93 كيلوبايت)

আমরা 3SUM এবং অল-পেয়ার্স শর্টেস্ট পাথস (APSP)-এর পাঠ্যপুস্তক অ্যালগরিদমের উপর প্রথম বহুপদী উন্নতি দিই: আমরা দেখাই কিভাবে বহুপদী আকারের n পূর্ণসংখ্যার উপর 3SUM নির্ণয়বাদীভাবে O(n^{1.9992}) সময়ে এবং বহুপদীভাবে সীমাবদ্ধ পূর্ণসংখ্যা ওজন সহ নির্দেশিত n-শীর্ষবিশিষ্ট গ্রাফে APSP O(n^{2.9995}) সময়ে সমাধান করা যায়। এটি 3SUM এবং APSP অনুমানকে খণ্ডন করে। পরিচিত হ্রাস ব্যবহার করে, আমরা 3SUM এবং APSP অনুমানের বাস্তব-মূল্য সংস্করণ, এক্সেক্ট ট্রায়াঙ্গেল অনুমান, জিরো-ওয়েট k-ক্লিক অনুমান, এবং van den Brand, Nanongkai, এবং Saranurak-এর তিনটি আয়তক্ষেত্রাকার ইঙ্গিতযুক্ত অনলাইন ম্যাট্রিক্স-ভেক্টর অনুমানকেও খণ্ডন করি, এবং বিভিন্ন অন্যান্য সমস্যার জন্য বহুপদী গতি প্রদান করি। এই সমস্ত ফলাফল পাতলা ম্যাট্রিক্স গুণফলের জন্য একটি নতুন অ্যালগরিদম থেকে অনুসরণ করে। ধরা যাক X একটি N×D পূর্ণসংখ্যা ম্যাট্রিক্স এবং Y একটি D×N পূর্ণসংখ্যা ম্যাট্রিক্স যেখানে D ≤ N^{1/18}, এবং W সর্বাধিক N^2/√D অবস্থানের যেকোনো সেট। আমরা (XY)[I, J], (I, J)∈W, এন্ট্রিগুলি O(N^2/D^{0.063}) অপারেশনে গণনা করি, যা XY লেখার বা N^2/√D অভ্যন্তরীণ গুণফল একে একে গণনা করার জন্য প্রয়োজনীয় সময়ের চেয়ে বহুপদীভাবে কম। আমরা এই অ্যালগরিদমটি Coppersmith-এর আয়তক্ষেত্রাকার ম্যাট্রিক্স গুণন অ্যালগরিদমের একটি রূপ পরিবর্তন করে ডিজাইন করি, যা Schönhage-এর দশ-গুণ পরিচয় থেকে নির্মিত, শুধুমাত্র W-তে এন্ট্রিগুলির জন্য প্রয়োজনীয় অপারেশনগুলি সম্পাদন করতে, এবং দেখাই যে কয়েকটি অপারেশন প্রয়োজন। গ্রাফ অ্যালগরিদম হিসাবে ব্যাখ্যা করলে, এটি স্পার্স লোপসাইডেড ট্রাইপার্টাইট গ্রাফে অল-এজেস স্পার্স ট্রায়াঙ্গেল সমস্যাকে প্রকৃত সাবকোয়াড্রেটিক সময়ে সমাধান করে, যেখানে দুটি অংশে n শীর্ষবিন্দু থাকে কিন্তু একটি অংশে n^{ε} শীর্ষবিন্দু থাকে ε<0.12 এর জন্য। পরিচিত হ্রাস দ্বারা, এক্সেক্ট ট্রায়াঙ্গেল, এবং তাই 3SUM এবং APSP, এই সমস্যায় হ্রাস পায়। আমরা একটি ডেটা স্ট্রাকচার সংস্করণও দিই যা XY-এর একক এন্ট্রিগুলির জন্য প্রশ্নের উত্তর দেয়, যা আগে থেকে জানা নয়। জমা ইতিহাস: Josh Alman থেকে [ইমেল দেখুন] [v1]সোম, 5 অক্টোবর 2026 17:44:29 UTC (93 KB)

Wir geben die ersten polynomiellen Verbesserungen gegenüber den Lehrbuchalgorithmen für 3SUM und All-Pairs Shortest Paths (APSP): Wir zeigen, wie man 3SUM auf n ganzen Zahlen polynomieller Größe deterministisch in O(n^{1.9992}) Zeit löst und APSP auf gerichteten Graphen mit n Knoten und polynomiell beschränkten ganzzahligen Gewichten in O(n^{2.9995}) Zeit. Dies widerlegt die 3SUM- und APSP-Hypothesen. Unter Verwendung bekannter Reduktionen widerlegen wir auch die reellwertigen Versionen der 3SUM- und APSP-Hypothesen, die Exakte-Dreieck-Hypothese, die Null-Gewicht-k-Clique-Hypothesen und die drei rechteckigen angedeuteten Online-Matrix-Vektor-Vermutungen von van den Brand, Nanongkai und Saranurak, und wir geben polynomielle Beschleunigungen für eine Vielzahl anderer Probleme.

Alle diese Ergebnisse folgen aus einem einzigen neuen Algorithmus für dünne Matrixprodukte. Sei X eine N×D-ganzzahlige Matrix und Y eine D×N-ganzzahlige Matrix mit D ≤ N^{1/18}, und sei W eine beliebige Menge von höchstens N^2/√D Positionen. Wir berechnen die Einträge (XY)[I, J], (I, J)∈W, in O(N^2/D^{0.063}) Operationen, was polynomiell weniger ist als die Zeit, die benötigt wird, um XY aufzuschreiben oder N^2/√D innere Produkte einzeln zu berechnen.

Wir entwerfen diesen Algorithmus, indem wir eine Variante des rechteckigen Matrixmultiplikationsalgorithmus von Coppersmith modifizieren, der auf einer Zehn-Multiplikations-Identität von Schönhage basiert, um nur die für die Einträge in W benötigten Operationen durchzuführen, und zeigen, dass wenige Operationen benötigt werden. Als Graphalgorithmus interpretiert, löst dies das All-Edges-Sparse-Triangle-Problem in echt subquadratischer Zeit auf dünnen, unausgewogenen dreiteiligen Graphen, bei denen zwei Teile n Knoten haben, aber ein Teil n^{ε} Knoten für ε<0.12 hat. Durch bekannte Reduktionen reduzieren sich Exaktes Dreieck und damit 3SUM und APSP auf dieses Problem.

Wir geben auch eine Datenstrukturversion an, die Abfragen für einzelne Einträge von XY beantwortet, die nicht im Voraus bekannt sind. Einreichungsverlauf: Von Josh Alman [E-Mail anzeigen] [v1]Mo, 5. Okt. 2026 17:44:29 UTC (93 KB).

Damos las primeras mejoras polinomiales sobre los algoritmos de libro para 3SUM y Caminos Más Cortos entre Todos los Pares (APSP): mostramos cómo resolver determinísticamente 3SUM en n enteros de tamaño polinomial en tiempo O(n^{1.9992}) y APSP en grafos dirigidos con n vértices y pesos enteros polinomialmente acotados en tiempo O(n^{2.9995}). Esto refuta las hipótesis de 3SUM y APSP. Usando reducciones conocidas, también refutamos las versiones de valor real de las hipótesis de 3SUM y APSP, la hipótesis del Triángulo Exacto, las hipótesis de k-Clique de Peso Cero, y las tres conjeturas rectangulares de Matriz-Vector en línea de van den Brand, Nanongkai y Saranurak, y damos aceleraciones polinomiales para una variedad de otros problemas.

Todos estos resultados siguen de un único algoritmo nuevo para productos de matrices delgadas. Sea X una matriz entera N×D y Y una matriz entera D×N con D ≤ N^{1/18}, y sea W cualquier conjunto de a lo más N^2/√D posiciones. Calculamos las entradas (XY)[I, J], (I, J)∈W, en O(N^2/D^{0.063}) operaciones, lo cual es polinomialmente menos que el tiempo necesario para escribir XY o para calcular N^2/√D productos internos uno por uno.

Diseñamos este algoritmo modificando una variante del algoritmo de multiplicación de matrices rectangulares de Coppersmith, construido a partir de una identidad de diez multiplicaciones de Schönhage, para realizar solo las operaciones necesarias para las entradas en W, y mostramos que se necesitan pocas operaciones. Interpretado como un algoritmo de grafos, esto resuelve el problema de Triángulo Disperso de Todos los Bordes en tiempo verdaderamente subcuadrático en grafos tripartitos dispersos y asimétricos donde dos partes tienen n vértices pero una parte tiene n^{ε} vértices para ε<0.12. Por reducciones conocidas, el Triángulo Exacto, y por lo tanto 3SUM y APSP, se reducen a este problema.

También damos una versión de estructura de datos que responde consultas para entradas individuales de XY, no conocidas de antemano. Historial de envío: De Josh Alman [ver correo] [v1]Lun, 5 Oct 2026 17:44:29 UTC (93 KB).

Nous donnons les premières améliorations polynomiales par rapport aux algorithmes classiques pour 3SUM et les plus courts chemins entre toutes paires (APSP) : nous montrons comment résoudre de manière déterministe 3SUM sur n entiers de taille polynomiale en temps O(n^{1.9992}) et APSP sur des graphes orientés à n sommets avec des poids entiers polynomialement bornés en temps O(n^{2.9995}). Cela réfute les hypothèses 3SUM et APSP. En utilisant des réductions connues, nous réfutons également les versions à valeurs réelles des hypothèses 3SUM et APSP, l'hypothèse du triangle exact, les hypothèses de k-clique de poids nul, et les trois conjectures rectangulaires de matrice-vecteur en ligne de van den Brand, Nanongkai et Saranurak, et nous donnons des accélérations polynomiales pour une variété d'autres problèmes.

Tous ces résultats découlent d'un seul nouvel algorithme pour les produits de matrices minces. Soit X une matrice entière N×D et Y une matrice entière D×N avec D ≤ N^{1/18}, et soit W tout ensemble d'au plus N^2/√D positions. Nous calculons les entrées (XY)[I, J], (I, J)∈W, en O(N^2/D^{0.063}) opérations, ce qui est polynomialement moins que le temps nécessaire pour écrire XY ou pour calculer N^2/√D produits scalaires un par un.

Nous concevons cet algorithme en modifiant une variante de l'algorithme de multiplication de matrices rectangulaires de Coppersmith, construit à partir d'une identité de dix multiplications de Schönhage, pour effectuer uniquement les opérations nécessaires pour les entrées dans W, et montrons que peu d'opérations sont nécessaires. Interprété comme un algorithme de graphe, cela résout le problème du triangle creux de toutes les arêtes en temps vraiment sous-quadratique sur des graphes tripartites creux déséquilibrés où deux parties ont n sommets mais une partie a n^{ε} sommets pour ε<0.12. Par des réductions connues, le triangle exact, et donc 3SUM et APSP, se réduisent à ce problème.

Nous donnons également une version de structure de données qui répond aux requêtes pour des entrées individuelles de XY, non connues à l'avance. Historique de soumission : De Josh Alman [voir l'e-mail] [v1]Lun, 5 oct. 2026 17:44:29 UTC (93 Ko).

हम 3SUM और ऑल-पेयर्स शॉर्टेस्ट पाथ्स (APSP) के लिए पाठ्यपुस्तक एल्गोरिदम पर पहला बहुपद सुधार देते हैं: हम दिखाते हैं कि बहुपद आकार के n पूर्णांकों पर 3SUM को नियतात्मक रूप से O(n^{1.9992}) समय में और बहुपद रूप से बद्ध पूर्णांक भार वाले निर्देशित n-शीर्ष ग्राफ़ पर APSP को O(n^{2.9995}) समय में हल किया जा सकता है। यह 3SUM और APSP परिकल्पनाओं का खंडन करता है। ज्ञात कटौतियों का उपयोग करके, हम 3SUM और APSP परिकल्पनाओं के वास्तविक-मूल्यवान संस्करणों, एक्सेक्ट ट्राएंगल परिकल्पना, जीरो-वेट k-क्लिक परिकल्पनाओं, और van den Brand, Nanongkai, और Saranurak के तीन आयताकार संकेतित ऑनलाइन मैट्रिक्स-वेक्टर अनुमानों का भी खंडन करते हैं, और विभिन्न अन्य समस्याओं के लिए बहुपद गति प्रदान करते हैं। ये सभी परिणाम पतली मैट्रिक्स उत्पादों के लिए एक नए एल्गोरिदम से अनुसरण करते हैं। मान लीजिए X एक N×D पूर्णांक मैट्रिक्स है और Y एक D×N पूर्णांक मैट्रिक्स है जिसमें D ≤ N^{1/18} है, और W अधिकतम N^2/√D स्थितियों का कोई सेट है। हम प्रविष्टियाँ (XY)[I, J], (I, J)∈W, की गणना O(N^2/D^{0.063}) संक्रियाओं में करते हैं, जो XY लिखने या N^2/√D आंतरिक उत्पादों की एक-एक करके गणना करने के लिए आवश्यक समय से बहुपद रूप से कम है। हम इस एल्गोरिदम को Coppersmith के आयताकार मैट्रिक्स गुणन एल्गोरिदम के एक प्रकार को संशोधित करके डिज़ाइन करते हैं, जो Schönhage की दस-गुणन पहचान से निर्मित है, ताकि W में प्रविष्टियों के लिए केवल आवश्यक संक्रियाएँ की जा सकें, और दिखाते हैं कि कुछ संक्रियाएँ आवश्यक हैं। ग्राफ एल्गोरिदम के रूप में व्याख्या करने पर, यह स्पार्स लोप्साइडेड ट्राइपार्टाइट ग्राफ़ पर ऑल-एजेस स्पार्स ट्राएंगल समस्या को वास्तविक सबक्वाड्रेटिक समय में हल करता है, जहाँ दो भागों में n शीर्ष होते हैं लेकिन एक भाग में n^{ε} शीर्ष होते हैं ε<0.12 के लिए। ज्ञात कटौतियों द्वारा, एक्सेक्ट ट्राएंगल, और इसलिए 3SUM और APSP, इस समस्या में कम हो जाते हैं। हम एक डेटा संरचना संस्करण भी देते हैं जो XY की एकल प्रविष्टियों के लिए प्रश्नों का उत्तर देता है, जो पहले से ज्ञात नहीं हैं। सबमिशन इतिहास: Josh Alman से [ईमेल देखें] [v1]सोम, 5 अक्टूबर 2026 17:44:29 UTC (93 KB)

Kami memberikan perbaikan polinomial pertama atas algoritma buku teks untuk 3SUM dan Jalur Terpendek Semua Pasangan (APSP): kami menunjukkan cara menyelesaikan 3SUM secara deterministik pada n bilangan bulat berukuran polinomial dalam waktu O(n^{1.9992}) dan APSP pada graf berarah dengan n simpul dan bobot bilangan bulat terbatas polinomial dalam waktu O(n^{2.9995}). Ini menyangkal hipotesis 3SUM dan APSP. Menggunakan reduksi yang diketahui, kami juga menyangkal versi nilai riil dari hipotesis 3SUM dan APSP, hipotesis Segitiga Tepat, hipotesis k-Clique Berat Nol, dan tiga konjektur Matriks-Vektor Daring persegi panjang yang diberi petunjuk dari van den Brand, Nanongkai, dan Saranurak, dan kami memberikan percepatan polinomial untuk berbagai masalah lainnya.

Semua hasil ini mengikuti dari satu algoritma baru untuk produk matriks tipis. Misalkan X adalah matriks bilangan bulat N×D dan Y adalah matriks bilangan bulat D×N dengan D ≤ N^{1/18}, dan misalkan W adalah sembarang himpunan paling banyak N^2/√D posisi. Kami menghitung entri (XY)[I, J], (I, J)∈W, dalam O(N^2/D^{0.063}) operasi, yang secara polinomial lebih sedikit daripada waktu yang diperlukan untuk menulis XY atau untuk menghitung N^2/√D produk dalam satu per satu.

Kami merancang algoritma ini dengan memodifikasi varian algoritma perkalian matriks persegi panjang Coppersmith, yang dibangun dari identitas sepuluh perkalian Schönhage, untuk melakukan hanya operasi yang diperlukan untuk entri di W, dan menunjukkan bahwa hanya sedikit operasi yang diperlukan. Ditafsirkan sebagai algoritma graf, ini memecahkan masalah Segitiga Jarang Semua Sisi dalam waktu subkuadratik sejati pada graf tripartit jarang yang timpang di mana dua bagian memiliki n simpul tetapi satu bagian memiliki n^{ε} simpul untuk ε<0.12. Dengan reduksi yang diketahui, Segitiga Tepat, dan karenanya 3SUM dan APSP, tereduksi menjadi masalah ini.

Kami juga memberikan versi struktur data yang menjawab kueri untuk entri tunggal XY, yang tidak diketahui sebelumnya. Riwayat pengiriman: Dari Josh Alman [lihat email] [v1]Sen, 5 Okt 2026 17:44:29 UTC (93 KB).

我々は、3SUMと全点対最短経路（APSP）の教科書アルゴリズムに対する最初の多項式的改善を与える：多項式サイズのn個の整数上の3SUMを決定的にO(n^{1.9992})時間で解き、多項式有界整数重みを持つ有向n頂点グラフ上のAPSPをO(n^{2.9995})時間で解く方法を示す。これは3SUMとAPSPの仮説を反駁する。既知の還元を用いて、3SUMとAPSPの仮説の実数値版、正確な三角形仮説、ゼロ重みk-クリーク仮説、およびvan den Brand、Nanongkai、Saranurakの3つの長方形ヒント付きオンラインマトリックス・ベクトル予想も反駁し、さまざまな他の問題に対する多項式的高速化を与える。これらの結果はすべて、薄い行列積のための単一の新しいアルゴリズムに由来する。XをN×D整数行列、YをD×N整数行列（D ≤ N^{1/18}）とし、Wを最大N^2/√D個の位置の任意の集合とする。我々はエントリ(XY)[I, J]、(I, J)∈WをO(N^2/D^{0.063})演算で計算する。これはXYを書き出すか、N^2/√D個の内積を1つずつ計算するのに必要な時間よりも多項式的に少ない。このアルゴリズムは、Coppersmithの長方形行列乗算アルゴリズムの変種を修正して設計され、Schönhageの10乗算恒等式に基づき、W内のエントリに必要な演算のみを実行し、必要な演算が少ないことを示す。グラフアルゴリズムとして解釈すると、これはスパースな非対称三部グラフ上の全辺スパース三角形問題を真の準二次時間で解く。ここで、2つの部分はn頂点を持つが、1つの部分はε<0.12に対してn^{ε}頂点を持つ。既知の還元により、正確な三角形、したがって3SUMとAPSPはこの問題に帰着する。また、事前に知られていないXYの単一エントリのクエリに答えるデータ構造バージョンも提供する。提出履歴：Josh Almanから[メールを表示][v1]2026年10月5日月曜日17:44:29 UTC（93 KB）

Damos as primeiras melhorias polinomiais sobre os algoritmos clássicos para 3SUM e Caminhos Mais Curtos entre Todos os Pares (APSP): mostramos como resolver deterministicamente 3SUM em n inteiros de tamanho polinomial em tempo O(n^{1.9992}) e APSP em grafos direcionados com n vértices e pesos inteiros polinomialmente limitados em tempo O(n^{2.9995}). Isso refuta as hipóteses de 3SUM e APSP. Usando reduções conhecidas, também refutamos as versões de valor real das hipóteses de 3SUM e APSP, a hipótese do Triângulo Exato, as hipóteses de k-Clique de Peso Zero, e as três conjecturas retangulares de Matriz-Vetor Online de van den Brand, Nanongkai e Saranurak, e damos acelerações polinomiais para uma variedade de outros problemas.

Todos esses resultados seguem de um único novo algoritmo para produtos de matrizes finas. Seja X uma matriz inteira N×D e Y uma matriz inteira D×N com D ≤ N^{1/18}, e seja W qualquer conjunto de no máximo N^2/√D posições. Calculamos as entradas (XY)[I, J], (I, J)∈W, em O(N^2/D^{0.063}) operações, o que é polinomialmente menos que o tempo necessário para escrever XY ou para calcular N^2/√D produtos internos um a um.

Projetamos este algoritmo modificando uma variante do algoritmo de multiplicação de matrizes retangulares de Coppersmith, construído a partir de uma identidade de dez multiplicações de Schönhage, para realizar apenas as operações necessárias para as entradas em W, e mostramos que poucas operações são necessárias. Interpretado como um algoritmo de grafo, isso resolve o problema do Triângulo Esparso de Todas as Arestas em tempo verdadeiramente subquadrático em grafos tripartidos esparsos e desequilibrados onde duas partes têm n vértices, mas uma parte tem n^{ε} vértices para ε<0.12. Por reduções conhecidas, o Triângulo Exato, e portanto 3SUM e APSP, reduzem-se a este problema.

Também fornecemos uma versão de estrutura de dados que responde a consultas para entradas individuais de XY, não conhecidas antecipadamente. Histórico de submissão: De Josh Alman [ver e-mail] [v1]Seg, 5 Out 2026 17:44:29 UTC (93 KB).

Мы даем первые полиномиальные улучшения по сравнению с классическими алгоритмами для 3SUM и задачи о кратчайших путях между всеми парами вершин (APSP): мы показываем, как детерминированно решить 3SUM на n целых числах полиномиального размера за время O(n^{1.9992}) и APSP на ориентированных графах с n вершинами и полиномиально ограниченными целочисленными весами за время O(n^{2.9995}). Это опровергает гипотезы 3SUM и APSP. Используя известные сведения, мы также опровергаем вещественные версии гипотез 3SUM и APSP, гипотезу о точном треугольнике, гипотезы о k-кликах нулевого веса и три прямоугольные подсказанные онлайн-гипотезы матрица-вектор ван ден Бранда, Нангонгкай и Саранурака, и даем полиномиальные ускорения для множества других задач. Все эти результаты следуют из одного нового алгоритма для тонких матричных произведений. Пусть X — целочисленная матрица N×D, а Y — целочисленная матрица D×N с D ≤ N^{1/18}, и пусть W — любое множество из не более N^2/√D позиций. Мы вычисляем записи (XY)[I, J], (I, J)∈W, за O(N^2/D^{0.063}) операций, что полиномиально меньше времени, необходимого для записи XY или для вычисления N^2/√D скалярных произведений по одному. Мы разрабатываем этот алгоритм, модифицируя вариант алгоритма умножения прямоугольных матриц Копперсмита, построенный на основе тождества с десятью умножениями Шёнхаге, чтобы выполнять только операции, необходимые для записей в W, и показываем, что требуется немного операций. Интерпретируемый как графовый алгоритм, это решает задачу о разреженных треугольниках всех ребер за истинно субквадратичное время на разреженных несбалансированных трехдольных графах, где две части имеют n вершин, но одна часть имеет n^{ε} вершин для ε<0.12. По известным сведениям, точный треугольник, а следовательно, 3SUM и APSP, сводятся к этой задаче. Мы также даем версию структуры данных, которая отвечает на запросы для отдельных записей XY, не известных заранее. История подачи: От Джоша Алмана [просмотреть электронную почту] [v1]Пн, 5 окт. 2026 17:44:29 UTC (93 КБ)

我们给出了对3SUM和全对最短路径（APSP）的教科书算法的首次多项式改进：我们展示了如何确定性解决n个多项式大小整数上的3SUM，时间为O(n^{1.9992})，以及有向n顶点图上的APSP，权重为多项式有界整数，时间为O(n^{2.9995})。这反驳了3SUM和APSP假设。利用已知归约，我们还反驳了3SUM和APSP假设的实值版本、精确三角形假设、零权重k-Clique假设，以及van den Brand、Nanongkai和Saranurak的三个矩形提示在线矩阵-向量猜想，并为各种其他问题提供了多项式加速。所有这些结果都源于一个用于薄矩阵乘积的新算法。设X为N×D整数矩阵，Y为D×N整数矩阵，且D ≤ N^{1/18}，W为至多N^2/√D个位置的任意集合。我们计算条目(XY)[I, J]，(I, J)∈W，在O(N^2/D^{0.063})次操作内，这比写出XY或逐一计算N^2/√D个内积所需的时间多项式地少。我们通过修改Coppersmith矩形矩阵乘法算法的一个变体来设计此算法，该变体基于Schönhage的十乘法恒等式，仅执行W中条目所需的操作，并表明所需操作很少。作为图算法解释，这解决了稀疏倾斜三部图中的全边稀疏三角形问题，其中两部分有n个顶点，但一部分有n^{ε}个顶点，ε<0.12。通过已知归约，精确三角形，以及因此3SUM和APSP，归约到此问题。我们还给出了一个数据结构版本，用于回答预先未知的XY单个条目的查询。提交历史：来自Josh Alman [查看电子邮件] [v1]2026年10月5日星期一17:44:29 UTC（93 KB）