Мы даем первые полиномиальные улучшения по сравнению с классическими алгоритмами для 3SUM и задачи о кратчайших путях между всеми парами вершин (APSP): мы показываем, как детерминированно решить 3SUM на n целых числах полиномиального размера за время O(n^{1.9992}) и APSP на ориентированных графах с n вершинами и полиномиально ограниченными целочисленными весами за время O(n^{2.9995}). Это опровергает гипотезы 3SUM и APSP. Используя известные сведения, мы также опровергаем вещественные версии гипотез 3SUM и APSP, гипотезу о точном треугольнике, гипотезы о k-кликах нулевого веса и три прямоугольные подсказанные онлайн-гипотезы матрица-вектор ван ден Бранда, Нангонгкай и Саранурака, и даем полиномиальные ускорения для множества других задач. Все эти результаты следуют из одного нового алгоритма для тонких матричных произведений. Пусть X — целочисленная матрица N×D, а Y — целочисленная матрица D×N с D ≤ N^{1/18}, и пусть W — любое множество из не более N^2/√D позиций. Мы вычисляем записи (XY)[I, J], (I, J)∈W, за O(N^2/D^{0.063}) операций, что полиномиально меньше времени, необходимого для записи XY или для вычисления N^2/√D скалярных произведений по одному. Мы разрабатываем этот алгоритм, модифицируя вариант алгоритма умножения прямоугольных матриц Копперсмита, построенный на основе тождества с десятью умножениями Шёнхаге, чтобы выполнять только операции, необходимые для записей в W, и показываем, что требуется немного операций. Интерпретируемый как графовый алгоритм, это решает задачу о разреженных треугольниках всех ребер за истинно субквадратичное время на разреженных несбалансированных трехдольных графах, где две части имеют n вершин, но одна часть имеет n^{ε} вершин для ε<0.12. По известным сведениям, точный треугольник, а следовательно, 3SUM и APSP, сводятся к этой задаче. Мы также даем версию структуры данных, которая отвечает на запросы для отдельных записей XY, не известных заранее. История подачи: От Джоша Алмана [просмотреть электронную почту] [v1]Пн, 5 окт. 2026 17:44:29 UTC (93 КБ)
Источник: Hacker News · Сводку подготовил HeadlinesBriefing