Damos las primeras mejoras polinomiales sobre los algoritmos de libro para 3SUM y Caminos Más Cortos entre Todos los Pares (APSP): mostramos cómo resolver determinísticamente 3SUM en n enteros de tamaño polinomial en tiempo O(n^{1.9992}) y APSP en grafos dirigidos con n vértices y pesos enteros polinomialmente acotados en tiempo O(n^{2.9995}). Esto refuta las hipótesis de 3SUM y APSP. Usando reducciones conocidas, también refutamos las versiones de valor real de las hipótesis de 3SUM y APSP, la hipótesis del Triángulo Exacto, las hipótesis de k-Clique de Peso Cero, y las tres conjeturas rectangulares de Matriz-Vector en línea de van den Brand, Nanongkai y Saranurak, y damos aceleraciones polinomiales para una variedad de otros problemas.
Todos estos resultados siguen de un único algoritmo nuevo para productos de matrices delgadas. Sea X una matriz entera N×D y Y una matriz entera D×N con D ≤ N^{1/18}, y sea W cualquier conjunto de a lo más N^2/√D posiciones. Calculamos las entradas (XY)[I, J], (I, J)∈W, en O(N^2/D^{0.063}) operaciones, lo cual es polinomialmente menos que el tiempo necesario para escribir XY o para calcular N^2/√D productos internos uno por uno.
Diseñamos este algoritmo modificando una variante del algoritmo de multiplicación de matrices rectangulares de Coppersmith, construido a partir de una identidad de diez multiplicaciones de Schönhage, para realizar solo las operaciones necesarias para las entradas en W, y mostramos que se necesitan pocas operaciones. Interpretado como un algoritmo de grafos, esto resuelve el problema de Triángulo Disperso de Todos los Bordes en tiempo verdaderamente subcuadrático en grafos tripartitos dispersos y asimétricos donde dos partes tienen n vértices pero una parte tiene n^{ε} vértices para ε<0.12. Por reducciones conocidas, el Triángulo Exacto, y por lo tanto 3SUM y APSP, se reducen a este problema.
También damos una versión de estructura de datos que responde consultas para entradas individuales de XY, no conocidas de antemano. Historial de envío: De Josh Alman [ver correo] [v1]Lun, 5 Oct 2026 17:44:29 UTC (93 KB).
Fuente: Hacker News · Resumido por HeadlinesBriefing