Wir geben die ersten polynomiellen Verbesserungen gegenüber den Lehrbuchalgorithmen für 3SUM und All-Pairs Shortest Paths (APSP): Wir zeigen, wie man 3SUM auf n ganzen Zahlen polynomieller Größe deterministisch in O(n^{1.9992}) Zeit löst und APSP auf gerichteten Graphen mit n Knoten und polynomiell beschränkten ganzzahligen Gewichten in O(n^{2.9995}) Zeit. Dies widerlegt die 3SUM- und APSP-Hypothesen. Unter Verwendung bekannter Reduktionen widerlegen wir auch die reellwertigen Versionen der 3SUM- und APSP-Hypothesen, die Exakte-Dreieck-Hypothese, die Null-Gewicht-k-Clique-Hypothesen und die drei rechteckigen angedeuteten Online-Matrix-Vektor-Vermutungen von van den Brand, Nanongkai und Saranurak, und wir geben polynomielle Beschleunigungen für eine Vielzahl anderer Probleme.
Alle diese Ergebnisse folgen aus einem einzigen neuen Algorithmus für dünne Matrixprodukte. Sei X eine N×D-ganzzahlige Matrix und Y eine D×N-ganzzahlige Matrix mit D ≤ N^{1/18}, und sei W eine beliebige Menge von höchstens N^2/√D Positionen. Wir berechnen die Einträge (XY)[I, J], (I, J)∈W, in O(N^2/D^{0.063}) Operationen, was polynomiell weniger ist als die Zeit, die benötigt wird, um XY aufzuschreiben oder N^2/√D innere Produkte einzeln zu berechnen.
Wir entwerfen diesen Algorithmus, indem wir eine Variante des rechteckigen Matrixmultiplikationsalgorithmus von Coppersmith modifizieren, der auf einer Zehn-Multiplikations-Identität von Schönhage basiert, um nur die für die Einträge in W benötigten Operationen durchzuführen, und zeigen, dass wenige Operationen benötigt werden. Als Graphalgorithmus interpretiert, löst dies das All-Edges-Sparse-Triangle-Problem in echt subquadratischer Zeit auf dünnen, unausgewogenen dreiteiligen Graphen, bei denen zwei Teile n Knoten haben, aber ein Teil n^{ε} Knoten für ε<0.12 hat. Durch bekannte Reduktionen reduzieren sich Exaktes Dreieck und damit 3SUM und APSP auf dieses Problem.
Wir geben auch eine Datenstrukturversion an, die Abfragen für einzelne Einträge von XY beantwortet, die nicht im Voraus bekannt sind. Einreichungsverlauf: Von Josh Alman [E-Mail anzeigen] [v1]Mo, 5. Okt. 2026 17:44:29 UTC (93 KB).
Quelle: Hacker News · Zusammengefasst von HeadlinesBriefing