What Are the Remaining Millennium Prize Problems?

In September, OpenAI announced an apparent solution to one of the seven Millennium Prize problems in mathematics: Navier-Stokes, a longstanding question about equations describing fluid behavior. While the firm later released hundreds of results, no new Millennium proofs were included, though some findings showed progress on the five remaining open questions.

What are these specialized questions? They are difficult even for most mathematicians. One is the Riemann hypothesis, formulated in an 1859 paper by German mathematician Bernhard Riemann. It concerns prime numbers and their distribution along the number line. As numbers grow larger, primes become rarer. Riemann proposed a hypothesis providing a precise formula for estimating how many primes exist below any given number. He died at 39 before returning to the problem. Peter Sarnak, a mathematician at Princeton University and the Institute for Advanced Study, called it a "great problem" and a proof "would be monumental mathematically."

A result related to the quasi-Riemann hypothesis was verified by Lean, a computer proof assistant, and considered likely correct. However, it falls short of solving the original Millennium problem. Alex Kontorovich, chair of the mathematics department at Rutgers, described it as a "fundamental breakthrough" but noted that genuinely new ideas would be needed to prove the full hypothesis.

Other remaining problems include the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, formulated in the early 1960s by British mathematicians Bryan John Birch and Sir Peter Swinnerton-Dyer using an early computer, the EDSAC-2.

في سبتمبر، أعلنت OpenAI عن حل محتمل لإحدى المشكلات الخمسة والسبع في جوائز الألفية في الرياضيات: Navier-Stokes، وهي سؤال طويل العمر حول المعادلات التي تصف سلوك السوائل. بينما قدمت الشركة لاحقًا مئات النتائج، لم يتضمن أي أدلة جديدة على جائزة الألفية، رغم أن بعض النتائج أظهرت تقدمًا على الأسئلة المفتوحة الخمس المتبقية.

ما هي هذه الأسئلة المتخصصة؟ إنها صعبة بالنسبة لمعظم الرياضياتيين. إحدها هي فرضية ريزان، وُضعت في ورقة عام 1859 من قبل الرياضي الألماني برنارد ريزان. تدور هذه المشكلة حول الأعداد الأولية وتوزيعها على المنحنى الرقمي. بينما تكبر الأعداد، يصبح الأعداد الأولية نادرة. قدم ريزان فرضية توفر صيغة دقيقة لتقدير عدد الأعداد الأولية التي تقل من أي رقم محدد. توفي عندما كان في الثانية والثلاثين من عمره قبل أن يعاود العمل على المشكلة. وصفه بيتر سارناك، الرياضي في جامعة برينستون ومعهد الأبحاث المتقدمة، وهو "مشكلة كبيرة" وقال إن دليلًا "سيكون مذهلًا رياضيًا".

كان الناتج المرتبط بفرضية ريزان الشبهية قد تم التحقق منه بواسطة Lean، وهو مساعد إثبات حاسوبي، ويُعتبر على الأرجح صحيحًا. ومع ذلك، يفتقد هذا إلى حل المشكلة الأصلية من نوع الألفية. وصف أليكس كونتوروفيتش، رئيس قسم الرياضيات بجامعة راتجرز، ذلك بأنه "انطلاقة أساسية"، مشيرًا إلى أن الأفكار الجديدة الحقيقية ستكون ضرورية لإثبات الفرضية الكاملة.

تشمل المشاكل المتبقية أخرى حجر البيتش ومسألة سويننتون-دير عن التصحيح، التي طُرحت في أوائل الستينات من قبل الرياضيين البريطانيين Bryan John Birch وسير بيتر سويننتون-دير باستخدام حاسوب مبكر، EDSAC-2.

الأسئلة الشائعة: ما هي المشاكل الخمسة الفائزة للألفية المتبقية؟

الإجابة: تشمل المشاكل الخمسة الفائزة للألفية المتبقية فرضية ريزان، وحجر البيتش ومسألة سويننتون-دير، ومشكلة P مقابل NP، وحجر Hodge، ووجود Yang-Mills وفجوة الكتلة. كل منها يمثل سؤالًا غير محل للرياضيات بمعنى كبير للحقل.

সেপ্টেম্বরে, OpenAI একটি গণিতের মধ্যে একটি মিলেনিয়াম পুরস্কার সমস্যার সমাধান ঘোষণা করেছে: Navier-Stokes, যা স্পার্শনের আচরণ বর্ণনা করে এমন সমীকরণগুলির বিষয়ে একটি দীর্ঘ সমস্যা। যদ্দি কোম্পানি পরে শতগুণ ফলাফল প্রকাশ করেও, কোনো নতুন মিলেনিয়াম প্রমাণ অন্তর্ভুক্ত হয়নি, যেতমন একখনও কিছু ফলাফল পাঁচ শেষ খুলা প্রশ্নের ওপর প্রগতি দেখিয়েছে।

এগুলি কী ধরনের বিশেষ প্রশ্ন? এগুলি বেশিরভাগ গণিতবিদদের জন্যই কঠিন। একটি হল রিজান হিপথেসিস, যা 1859 সালে জার্মান গণিতবিদ বার্নহার্ড রিজান দ্বারা একটি পত্রে প্রস্তুত করা হয়েছিল। এটি সমাজ সংখ্যা ও তাদের সংখ্যা রেখায় বিতরণের বিষয়ে। সংখ্যার সাথে বড়ে যাওয়ার সাথে সাধারণ সংখ্যা কমে যায়। রিজান একটি হিপথেসিস প্রস্তাব করেছেন যা যে কোনও দেওয়া সংখ্যার নিচে কত গুলো সাধারণ সংখ্যা আছে তা অনুমান করার জন্য একটি সঠিক সূত্র প্রদান করে। তিনি 39 বছরের মধ্যে এই সমস্যার ওপর ফিরে আসেন না। পিটার সার্নাক, প্রিন্সটন বিশ্ববিদ্যালয় ও আধুনিক গবেষণার ইনস্টিটিউশনে গণিতবিদ, তাকে একটি "একটি বড় সমস্যা" বলে উল্লেখ করেন এবং একটি প্রমাণ "গণিতগতভাবে মহল্লা হবে" বলে মনে করেন।

একটি ক্বোই-রিজান হিপথেসিস সম্পর্কিত ফলাফল Lean, একটি কম্পিউটার প্রুফ অ্যাসিস্ট্যান্ট দ্বারা যাচাই করা হয়েছে এবং সম্ভবত সঠিক বলে ধরা হয়। তবুও, মূল মিলেনিয়াম সমস্যার সমাধান করতে এটি পর্যাপ্ত নয়। Rutgers-এর গণিত বিভাগের প্রেসিডেন্ট Alex Kontorovich-টি এটিকে একটি "ভিত্তিভূত উদ্যম" বলে বর্ণনা করেন, তবে পূর্ণ হিপথেসিস প্রমাণ করতে নতুন ধারণাগুলি প্রয়োজন হবে বলে মনে করেন।

অন্য শেষ সমস্যাগুলির মধ্যে Birch এবং Swinnerton-Dyer এর অভিমূল্য অন্তর্ভুক্ত আছে, যা 1960-এর দশকের শুরুর দিকে ব্রিটিশ গণিতবিদদের Bryan John Birch এবং Sir Peter Swinnerton-Dyer দ্বারা একটি প্রাথমিক কম্পিউটার, EDSAC-2 ব্যবহার করে প্রস্তুত করা হয়েছিল।

Im September hatte OpenAI ein scheinbares Lösungsvorschlag für eines der sieben Millenniumspreisprobleme in der Mathematik: Navier-Stokes, eine langjährige Frage zu Gleichungen, die das Verhalten von Flüssigkeiten beschreiben. Während das Unternehmen später hunderte Ergebnisse veröffentlicht hatte, wurden keine neuen Millennium-Beweise eingeschlossen, obwohl einige Befunde Fortschritte bei den fünf verbleibenden offenen Fragen zeigten.

Was sind diese spezialisierten Fragen? Sie sind schwierig, selbst für die meisten Mathematiker. Eines davon ist die Riemann-Vermutung, die in einem Paper aus dem Jahr 1859 vom deutschen Mathematiker Bernhard Riemann formuliert wurde. Sie bezieht sich auf Primzahlen und deren Verteilung entlang der Zahlenlinie. Je größer die Zahlen werden, desto seltener werden die Primzahlen. Riemann stellte eine Vermutung vor, die ein präzises Formel zur Schätzung bietet, wie viele Primzahlen unter einer beliebigen Zahl liegen. Er starb im Jahr 39, bevor er auf das Problem zurückkam. Peter Sarnak, Mathematiker an der Princeton University und dem Institute for Advanced Study, nannte sie ein "großes Problem" und sagte, dass ein Beweis "mathematisch monumental" wäre.

Ein verwandtes Ergebnis der Quasi-Riemann-Vermutung wurde von Lean, einem Computer-Beweisassistenten, überprüft und als wahrscheinlich korrekt betrachtet. Allerdings reicht es nicht aus, um das ursprüngliche Millennium-Problem zu lösen. Alex Kontorovich, Vorsitzender des Mathematikdepartements an der Rutgers Universität, beschrieb es als "fundierte Durchbruch", stellte aber fest, dass neue Ideen benötigt würden, um die vollständige Vermutung zu beweisen.

Andere verbleibende Probleme umfassen die Birch-and-Swinnerton-Dyer-Vermutung, die in den frühen 1960er Jahren von den britischen Mathematikern Bryan John Birch und Sir Peter Swinnerton-Dyer mit einem frühen Computer, dem EDSAC-2, formuliert wurde.

En septiembre, OpenAI anunció una aparente solución a uno de los siete problemas de premios Millennium en matemáticas: Navier-Stokes, una antigua cuestión sobre ecuaciones que describen el comportamiento de los fluidos. Aunque la empresa posteriormente publicó cientos de resultados, no se incluyeron nuevas demostraciones de Millennium, aunque algunos hallazgos mostraron progreso en las cinco preguntas abiertas restantes.

¿Cuáles son estas preguntas especializadas? Son difíciles incluso para la mayoría de los matemáticos. Una es la hipótesis de Riemann, formulada en un artículo de 1859 por el matemático alemán Bernhard Riemann. Se refiere a los números primos y su distribución a lo largo de la recta numérica. A medida que los números crecen en tamaño, los primos se vuelven más escasos. Riemann propuso una hipótesis que proporciona una fórmula precisa para estimar cuántos primos existen por debajo de cualquier número dado. Murió a los 39 años antes de regresar al problema. Peter Sarnak, matemático en la Universidad de Princeton y el Instituto de Estudios Avanzados, lo llamó un "gran problema" y dijo que una demostración "sería monumental matemáticamente".

Un resultado relacionado con la quasi-hipótesis de Riemann fue verificado por Lean, un asistente de pruebas informáticas, y se considera probablemente correcto. Sin embargo, no alcanza para resolver el problema Millennium original. Alex Kontorovich, presidente del departamento de matemáticas de Rutgers, lo describió como un "avance fundamental", pero notó que se necesitarían ideas genuinamente nuevas para probar la hipótesis completa.

Otros problemas restantes incluyen la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, formulada a principios de los años 60 por los matemáticos británicos Bryan John Birch y Sir Peter Swinnerton-Dyer usando un ordenador temprano, el EDSAC-2.

En septembre, OpenAI a annoncé une solution apparente à l'un des sept problèmes de prix Millennium en mathématiques : Navier-Stokes, une question longtemps ouverte concernant les équations décrivant le comportement des fluides. Bien que l'entreprise ait ensuite publié des centaines de résultats, aucune nouvelle preuve de Millennium n'a été incluse, bien que certains résultats aient montré des progrès sur les cinq questions ouvertes restantes.

Il s'agit de questions spécialisées, difficiles même pour la plupart des mathématiciens. L'une d'elles est l'hypothèse de Riemann, formulée dans un article de 1859 par le mathématicien allemand Bernhard Riemann. Elle concerne les nombres premiers et leur distribution le long de la droite numérique. À mesure que les nombres augmentent en taille, les nombres premiers deviennent plus rares. Riemann a proposé une hypothèse offrant une formule précise pour estimer combien de nombres premiers existent en dessous de tout nombre donné. Il est mort à l'âge de 39 ans avant de revenir sur le problème. Peter Sarnak, mathématicien à l'Université de Princeton et à l'Institut for Advanced Study, l'a qualifiée de "grand problème" et a déclaré qu'une preuve "serait monumentale mathématiquement".

Un résultat lié à l'hypothèse quasi-Riemann a été vérifié par Lean, un assistant de preuve informatique, et est considéré comme probablement correct. Cependant, il ne suffit pas à résoudre le problème Millennium original. Alex Kontorovich, président du département de mathématiques de Rutgers, l'a décrit comme une "avancée fondamentale", tout en notant qu'il serait nécessaire d'avoir de nouvelles idées authentiquement novatrices pour prouver l'hypothèse complète.

Les autres problèmes restants incluent la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, formulée dans les années 1960 par les mathématiciens britanniques Bryan John Birch et Sir Peter Swinnerton-Dyer à l'aide d'un ordinateur précoce, l'EDSAC-2.

सितंबर में, OpenAI ने एक मैथेमैटिक्स में एक मिलेनियम पुरस्कार समस्या का समाधान घोषित किया: Navier-Stokes, जो कि स्पर्शन व्यवहार का विवरण करने वाले समीकरणों के बारे में एक लंबा सवाल है। जबकि कंपनी ने बाद में सैकड़ों परिणामों को घोषित किया, कोई नई मिलेनियम प्रमाणपत्र शामिल नहीं थे, हालाँकि कुछ परिणामों ने पाँच शेष खुले प्रश्नों पर प्रगति दिखाई।

ये विशेष प्रश्न क्या हैं? ये अधिकांश गणितज्ञों के लिए भी कठिन हैं। एक है रिज़ान हिपोथेसिस, जो 1859 में जर्मन गणितज्ञ बर्नहार्ड रिज़ान द्वारा एक निबंध में प्रस्तुत किया गया था। यह संख्या में प्रमुख संख्याओं और उनके संख्या रेखा पर वितरण के बारे में है। संख्याओं के बड़े होने पर, प्रमुख संख्याएँ कम हो जाती हैं। रिज़ान ने एक हिपोथेसिस पेश किया जो किसी भी दिए गए संख्या के नीचे कितने प्रमुख संख्याएँ होती हैं, इसका अंदाज़ा करने के लिए एक सटीक सूत्र प्रदान करता है। वह 39 वर्षों में इस समस्या पर वापस नहीं आए। प्रिंस्टन विश्वविद्यालय और इंस्टीट्यूट ऑफ एडवांस्ड स्टडीज़ के गणितज्ञ पीटर सार्नक ने इसे "एक बड़ी समस्या" कहा और एक प्रमाण कहा कि यह "गणितीय रूप से महल्ला होगा"।

एक क्वाइ-रिज़ान हिपोथेसिस संबंधी परिणाम को Lean, एक कंप्यूटर प्रूफ असिस्टेंट द्वारा सत्यापित किया गया था और संभवतः सही माना गया था। हालाँकि, यह मूल मिलेनियम समस्या को हल करने में नहीं होता। Rutgers के गणित विभाग के प्रमुख Alex Kontorovich ने इसे "एक मूलभूत त्रिकोणीय" कहा, लेकिन पूरी हिपोथेसिस को प्रमाणित करने के लिए नई विचारों की आवश्यकता होगी।

अन्य शेष समस्याएँ में Birch और Swinnerton-Dyer का संदिग्धन शामिल हैं, जो 1960 के दशक के शुरुआती सालों में ब्रिटिश गणितज्ञों Bryan John Birch और Sir Peter Swinnerton-Dyer द्वारा एक प्रारंभिक कंप्यूटर, EDSAC-2 का उपयोग करकर प्रस्तुत की गई थी।

Pada September, OpenAI mengumumkan solusi yang tampak untuk salah satu dari tujuh masalah hadiah Millennium dalam matematika: Navier-Stokes, pertanyaan yang lama tentang persamaan yang menjelaskan perilaku fluida. Meskipun perusahaan kemudian merilis ratusan hasil, tidak ada bukti baru Millennium yang disertakan, meskipun beberapa temuan menunjukkan kemajuan pada lima pertanyaan terbuka yang tersisa.

Apa yang disebut pertanyaan-pertanyaan khusus ini? Mereka sulit bahkan untuk sebagian besar matematikawan. Salah satunya adalah hipotesis Riemann, dirumuskan dalam sebuah paper tahun 1859 oleh matematikawan Jerman Bernhard Riemann. Ia berkaitan dengan bilangan prima dan distribusinya di garis angka. Seiring angka berkembang besar, prima menjadi lebih jarang. Riemann mengusulkan hipotesis yang menyediakan formula yang tepat untuk memperkirakan berapa banyak prima yang ada di bawah setiap bilangan yang diberikan. Ia meninggal pada usia 39 tahun sebelum kembali ke masalah ini. Peter Sarnak, seorang matematikawan di Universitas Princeton dan Institute for Advanced Study, menyebutnya sebagai "masalah besar" dan bercita-cita bahwa satu bukti "akan menjadi monumental secara matematis".

Hasil yang terkait dengan quasi-hipotesis Riemann telah diverifikasi oleh Lean, asisten bukti komputer, dan dianggap kemungkinan benar. Namun, ia tidak cukup untuk memecahkan masalah Millennium asli. Alex Kontorovich, ketua departemen matematika di Rutgers, menggambarkannya sebagai "pembelajaran fundamental" namun menyadari bahwa ide yang benar-benar baru akan diperlukan untuk membuktikan hipotesis lengkap.

Masalah lain yang tersisa meliputi konjektur Birch dan Swinnerton-Dyer, dirumuskan pada awal tahun 1960 oleh matematikawan Britania Bryan John Birch dan Sir Peter Swinnerton-Dyer menggunakan komputer awal, EDSAC-2.

9月、OpenAIは数学の千年賞問題の1つであるNavier-Stokesの解決策の発表をしました。これは流体の動きを記述する方程式に関する長年の質問です。企業はその後、数百件の結果を発表しましたが、新しい千年賞の証明は含まれず、いくつかの成果が残された5つのオープンな質問での進展を示しました。

これらは専門的な質問です。数学学者のほとんどにとっても難しいです。1つはリーマン仮説です。これは1859年にドイツの数学家ベルンハルト・リーマンによって発表された論文に関するものです。これは素数と数直線上での分布に関するものです。数が大きくなるにつれて、素数は珍しくなります。リーマンは、任意の数以下に存在する素数の数を推定するための正確な公式を提供するリーマン仮説を提案しました。彼は39歳でこの問題に戻らずに死去しました。プリンストン大学とアドバンスドスタディーズ研究所の数学者ピーター・サルナクはそれを"大きな問題"と呼び、その証明が"数学的に壮大だ"と語りました。

クォータイム・リーマン仮説に関連する結果は、Lean（コンピュータ証明補助ツール）によって検証され、正しいと考えられています。しかし、元の千年賞問題を解くには十分ではありません。ルッジズ大学数学部長アレックス・コントロヴィッチはそれを"根本的な突破"と描述し、完全な仮説を証明するには新しいアイデアが必要だと指摘しました。

その他の残された問題には、1960年代初頭にイギリスの数学家ブライアン・ジョン・バーチとサー・ピーター・スウィネートン・ダイアーが早期のコンピュータEDSAC-2を使用して立案したBirchとSwinnerton-Dyerの予想が含まれます。

Em setembro, a OpenAI anunciou uma aparente solução para um dos sete problemas do prêmio Millennium em matemática: Navier-Stokes, uma longa questão sobre equações que descrevem o comportamento dos fluidos. Embora a empresa posteriormente tenha divulgado centenas de resultados, nenhuma nova prova do Millennium foi incluída, embora algumas descobertas tenham mostrado progresso nas cinco perguntas abertas restantes.

Quais são essas questões especializadas? Elas são difíceis, mesmo para a maioria dos matemáticos. Uma delas é a hipótese de Riemann, formulada em um artigo de 1859 pelo matemático alemão Bernhard Riemann. Ela diz respeito aos números primos e sua distribuição ao longo da linha numérica. À medida que os números crescem em tamanho, os primos tornam-se mais raros. Riemann propôs uma hipótese que fornece uma fórmula precisa para estimar quantos primos existem abaixo de qualquer número dado. Ele morreu aos 39 anos antes de retornar ao problema. Peter Sarnak, matemático na Universidade de Princeton e no Instituto de Estudos Avançados, o chamou de "um grande problema" e disse que uma prova "seria monumental matematicamente".

Um resultado relacionado à quasi-hipótese de Riemann foi verificado pelo Lean, um assistente de prova computacional, e considerado provavelmente correto. No entanto, ele não é suficiente para resolver o problema Millennium original. Alex Kontorovich, presidente do departamento de matemática da Rutgers, o descreveu como uma "descoberta fundamental", mas notou que seriam necessárias ideias genuinamente novas para provar a hipótese completa.

Outros problemas restantes incluem a conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer, formulada no início dos anos 1960 pelos matemáticos britânicos Bryan John Birch e Sir Peter Swinnerton-Dyer usando um computador precoce, o EDSAC-2.

В сентябре OpenAI объявила о предполагаемом решении одной из семи проблем премии тысячелетия в математике: Navier-Stokes, долговременный вопрос о уравнениях, описывающих поведение жидкостей. Хотя компания позже представила сотни результатов, никаких новых доказательств премии тысячелетия не было, хотя некоторые находки показали прогресс в пяти оставшихся открытых вопросах.

Какие это специализированные вопросы? Они трудны даже для большинства математиков. Одна из них — гипотеза Римана, сформулированная в статье 1859 года немецким математиком Бернардом Риманом. Она касается простых чисел и их распределения по числовой прямой. По мере увеличения чисел простые числа становятся реже. Риман предложил гипотезу, предоставляющую точную формулу для оценки того, сколько простых чисел существует ниже любого заданного числа. Он умер в возрасте 39 лет, не вернувшись к проблеме. Питер Сарнак, математик Университета Принстона и Института продвинутых исследований, назвал её "великой проблемой" и сказал, что доказательство "будет монументальным с математической точки зрения".

Результат, связанный с квази-гипотезой Римана, был проверен Lean, компьютерным помощником по доказательствам, и считается, вероятно, правильным. Однако это недостаточно, чтобы решить исходную проблему премии тысячелетия. Алекс Конторович, председатель отделения математики Rutgers, описал это как "фундаментальное прорыв", отметив, что для доказательства полной гипотезы потребуются новые идеи.

Другие оставшиеся проблемы включают догадку Бирча и Свиннетона-Дайера, сформулированную в начале 1960-х годов британскими математиками Брайан Джон Бирч и Сэр Питер Свиннетон-Дайер с использованием раннего компьютера EDSAC-2.

在九月，OpenAI宣布了解决一个数学千禧年奖学问题的显著成果：Navier-Stokes方程，这是一个关于描述流体行为的长期问题。虽然公司随后发布了数百个结果，但未包含新的千禧年证明，尽管一些发现在五个剩余未解问题上取得了进展。

这些问题是高度专业的，甚至对大多数数学家来说都很困难。一个是黎曼假设，由德国数学家伯恩哈德·黎曼于1859年发表的论文中提出。它涉及素数及其在数轴上的分布。随着数的增大，素数变得更少。黎曼提出了一个假设，提供了精确的公式来估计任何给定数以下存在多少个素数。他于39岁去世，此前未能继续研究此问题。普林斯顿大学和新泽西州安德鲁斯学会的数学家彼得·萨尔纳克称其为一个"伟大的问题”，并指出其证明“在数学上将是巨大的”。

一个与准黎曼假设相关的结果已由Lean（计算机证明助手）验证，被认为可能是正确的。然而，这还不足以解决原始的千禧年问题。拉特茨大学数学系主任亚历克斯·庚托罗维奇将其描述为“根本性的突破”，但指出要证明完整的假设仍需新的思想。

其他剩余问题包括 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想，由英国数学家Bryan John Birch和Sir Peter Swinnerton-Dyer在早期计算机EDSAC-2上使用60年代初提出。