The Four Colour Theorem: The first time machines mogged mathematicians

In July 1976 a mathematical mystery that had puzzled mathematicians for more than a century was finally solved. The Four Color Theorem states that no more than four colors are needed to color the regions of any map so that no two adjacent regions share a color. Its authors, Kenneth Appel and Wolfgang Haken, credited an unconventional collaborator: a computer that did much of the heavy lifting, running for 1,200 hours and making 10 billion decisions. Computer programmer John Koch helped Appel and Haken with the algorithmic work.

Appel and Haken later said the system "began to teach us things about how to proceed that we never expected," conceding that it had "surpassed its creators" in certain intellectual tasks. The result opened a debate about whether a proof too vast for any human to check can count as mathematics. Reactions were far from universal praise. Herbert Wilf of the University of Pennsylvania said, "God wouldn't let the theorem be proved by a method as terrible as that!" Paul Halmos of UC Santa Barbara wrote that "the present proof relies in effect on an Oracle, and I say down with Oracles!"

Age appeared to shape attitudes. After a presentation by Haken's son, the audience reportedly split: "over-40s could not be convinced that a proof by computer was correct, while the under-40s could not be convinced that a proof containing 700 pages of hand calculations could be correct." Some critics went further. George Spencer-Brown of Cambridge University called the affair "the most ridiculous case of 'The King's New Clothes' that has ever disgraced the history of mathematics."

The proof did win notable endorsements. Bill Tutte, who had once doubted the computer-aided method, conceded it had solved the problem and marked the occasion with a poem. German mathematician Heinrich Heesch accepted the proof, though reluctantly, having spent four decades on the problem and developed key algorithmic methods the pair used.

في يوليو 1976 حُلّ أخيراً لغز رياضي حيّر علماء الرياضيات لأكثر من قرن. تنص مبرهنة الألوان الأربعة على أنه لا يلزم أكثر من أربعة ألوان لتلوين مناطق أي خريطة بحيث لا تشترك أي منطقتين متجاورتين في اللون نفسه. ونسب مؤلفاها، كينيث أبل وفولفغانغ هاكن، الفضل إلى متعاون غير تقليدي: حاسوب قام بمعظم العمل الشاق، إذ عمل لمدة 1200 ساعة واتخذ 10 مليارات قرار. وساعد مبرمج الحاسوب جون كوخ أبل وهاكن في العمل الخوارزمي.

وقال أبل وهاكن لاحقاً إن النظام "بدأ يعلّمنا أشياء عن طريقة المضي قدماً لم نتوقعها أبداً"، واعترفا بأنه "تفوق على مبتكريه" في مهام فكرية معينة. وقد فتحت النتيجة باب النقاش حول ما إذا كان البرهان الهائل الذي لا يستطيع أي إنسان التحقق منه يمكن أن يُعد رياضيات. ولم تكن الردود إشادة بالإجماع. فقال هربرت ويلف من جامعة بنسلفانيا: "لن يسمح الله بإثبات المبرهنة بطريقة فظيعة كهذه!". وكتب بول هالموس من جامعة كاليفورنيا في سانتا باربرا أن "البرهان الحالي يعتمد فعلياً على أوراكل، وأنا أقول: يسقط الأوراكل!".

ويبدو أن العمر كان يشكّل المواقف. فبعد عرض قدّمه ابن هاكن، انقسم الحضور بحسب ما أُفيد: "من تجاوزوا الأربعين لم يقتنعوا بأن البرهان الحاسوبي صحيح، بينما من دون الأربعين لم يقتنعوا بأن برهاناً يتضمن 700 صفحة من الحسابات اليدوية يمكن أن يكون صحيحاً". ومضى بعض النقاد أبعد من ذلك. فوصف جورج سبنسر-براون من جامعة كامبريدج القضية بأنها "أسخف حالة لـ'ثياب الإمبراطور الجديدة' شانت تاريخ الرياضيات يوماً".

ونال البرهان تأييداً لافتاً. فقد أقرّ بيل توت، الذي شكك ذات يوم في المنهج المعتمد على الحاسوب، بأنه حلّ المشكلة، وخلّد المناسبة بقصيدة. وقبل عالم الرياضيات الألماني هاينريش هيش البرهان على مضض، بعد أن أمضى أربعة عقود على المسألة وطوّر أساليب خوارزمية رئيسية استخدمها الباحثان.

১৯৭৬ সালের জুলাই মাসে একটি গাণিতিক রহস্যের সমাধান হয়, যা এক শতাব্দীরও বেশি সময় ধরে গণিতবিদদের ধাঁধায় ফেলে রেখেছিল। চার রঙের উপপাদ্য বলে, যেকোনো মানচিত্রের অঞ্চলগুলো এমনভাবে রঙ করতে সর্বোচ্চ চারটি রঙই যথেষ্ট, যাতে কোনো দুটি পাশাপাশি অঞ্চল একই রঙের না হয়। এর লেখক কেনেথ অ্যাপেল ও উলফগ্যাং হ্যাকেন এর কৃতিত্ব দিয়েছেন এক অপ্রচলিত সহযোগীকে: একটি কম্পিউটার, যা অধিকাংশ কঠিন কাজ করেছে, ১,২০০ ঘণ্টা চলেছে এবং ১০০ কোটি সিদ্ধান্ত নিয়েছে। কম্পিউটার প্রোগ্রামার জন কোখ অ্যালগরিদম-সংক্রান্ত কাজে অ্যাপেল ও হ্যাকেনকে সহায়তা করেন।

অ্যাপেল ও হ্যাকেন পরে বলেন, এই ব্যবস্থা "আমাদের এমন সব উপায়ে অগ্রসর হতে শেখাতে শুরু করেছিল যা আমরা কখনো আশা করিনি", এবং স্বীকার করেন যে কিছু বুদ্ধিবৃত্তিক কাজে এটি "তার স্রষ্টাদের ছাড়িয়ে গেছে"। এই ফল একটি বিতর্কের সূচনা করে: এত বিশাল একটি প্রমাণ, যা কোনো মানুষ যাচাই করতে পারে না, তাকে কি আদৌ গণিত বলা যায়? প্রতিক্রিয়া সর্বজনীন প্রশংসার ছিল না। পেনসিলভানিয়া বিশ্ববিদ্যালয়ের হারবার্ট উইলফ বলেন, "ঈশ্বর এত ভয়ংকর পদ্ধতিতে এই উপপাদ্যের প্রমাণ হতে দিতেন না!" ইউসি সান্তা বারবারার পল হালমোস লেখেন, "বর্তমান প্রমাণ কার্যত একটি ওরাকলের ওপর নির্ভরশীল, এবং আমি ওরাকলের বিরুদ্ধে!"

বয়সও মনোভাব গড়ে দিচ্ছিল বলে মনে হয়। হ্যাকেনের ছেলের একটি উপস্থাপনার পর শ্রোতারা নাকি বিভক্ত হয়ে যান: "৪০-এর বেশি বয়সীরা বিশ্বাস করতে পারেননি যে কম্পিউটারের প্রমাণ সঠিক, আর ৪০-এর কম বয়সীরা বিশ্বাস করতে পারেননি যে ৭০০ পৃষ্ঠার হাতে-করা গণনাসমৃদ্ধ প্রমাণ সঠিক হতে পারে।" কেউ কেউ আরও এগিয়ে যান। কেমব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়ের জর্জ স্পেনসার-ব্রাউন এই ঘটনাকে "গণিতের ইতিহাসকে কলঙ্কিত করা 'রাজার নতুন পোশাক'-এর সবচেয়ে হাস্যকর দৃষ্টান্ত" বলে অভিহিত করেন।

তবে প্রমাণটি উল্লেখযোগ্য সমর্থনও পায়। বিল টিউট, যিনি একসময় কম্পিউটার-সহায়তা পদ্ধতি নিয়ে সন্দেহ প্রকাশ করেছিলেন, স্বীকার করেন যে এটি সমস্যাটি সমাধান করেছে এবং একটি কবিতা লিখে সেই মুহূর্ত চিহ্নিত করেন। জার্মান গণিতবিদ হাইনরিশ হেশ প্রমাণটি গ্রহণ করেন, যদিও অনিচ্ছায়, কারণ তিনি চার দশক এই সমস্যায় ব্যয় করেছিলেন এবং সেই মূল অ্যালগরিদমিক পদ্ধতিগুলো বিকশিত করেছিলেন যা দুজনেই ব্যবহার করেছিলেন।

Im Juli 1976 wurde endlich ein mathematisches Rätsel gelöst, das Mathematiker mehr als ein Jahrhundert lang beschäftigt hatte. Der Vier-Farben-Satz besagt, dass zum Einfärben der Länder jeder beliebigen Landkarte höchstens vier Farben nötig sind, sodass benachbarte Länder nie dieselbe Farbe tragen. Seine Autoren, Kenneth Appel und Wolfgang Haken, schrieben die Leistung einem ungewöhnlichen Mitarbeiter zu: einem Computer, der den Großteil der mühsamen Arbeit übernahm, 1.200 Stunden lief und 10 Milliarden Entscheidungen traf. Der Computerprogrammierer John Koch unterstützte Appel und Haken bei der algorithmischen Arbeit.

Appel und Haken sagten später, das System habe „begonnen, uns Dinge über das Vorgehen beizubringen, die wir nie erwartet hatten“, und räumten ein, dass es bei bestimmten intellektuellen Aufgaben „seine Schöpfer übertroffen“ habe. Das Ergebnis löste eine Debatte darüber aus, ob ein Beweis, der zu umfangreich ist, als dass ihn ein Mensch überprüfen könnte, als Mathematik gelten kann. Die Reaktionen waren alles andere als einhellig lobend. Herbert Wilf von der University of Pennsylvania sagte: „Gott würde nicht zulassen, dass der Satz mit einer so furchtbaren Methode bewiesen wird!“ Paul Halmos von der UC Santa Barbara schrieb, der vorliegende Beweis beruhe faktisch auf einem Orakel, und er sagte: „Nieder mit den Orakeln!“

Das Alter schien die Haltungen zu prägen. Nach einem Vortrag von Hakens Sohn sei das Publikum gespalten gewesen: „Über Vierzigjährige ließ sich nicht überzeugen, dass ein Computerbeweis korrekt sei, während Unter-Vierzigjährige nicht überzeugt werden konnten, dass ein Beweis mit 700 Seiten handschriftlicher Rechnungen korrekt sein könne.“ Manche Kritiker gingen noch weiter. George Spencer-Brown von der Universität Cambridge nannte die Angelegenheit „den lächerlichsten Fall von ‚Des Kaisers neuen Kleidern‘, der jemals die Geschichte der Mathematik entehrt hat“.

Der Beweis erhielt dennoch bemerkenswerte Zustimmung. Bill Tutte, der die computergestützte Methode einst angezweifelt hatte, räumte ein, dass sie das Problem gelöst habe, und würdigte den Anlass mit einem Gedicht. Der deutsche Mathematiker Heinrich Heesch akzeptierte den Beweis, wenn auch widerwillig, nachdem er vier Jahrzehnte an dem Problem gearbeitet und wichtige algorithmische Methoden entwickelt hatte, die die beiden nutzten.

En julio de 1976 se resolvió por fin un misterio matemático que había desconcertado a los matemáticos durante más de un siglo. El teorema de los cuatro colores afirma que no se necesitan más de cuatro colores para colorear las regiones de cualquier mapa de modo que dos regiones adyacentes nunca compartan el mismo color. Sus autores, Kenneth Appel y Wolfgang Haken, atribuyeron el resultado a un colaborador poco convencional: un ordenador que hizo gran parte del trabajo pesado, funcionó durante 1.200 horas y tomó 10.000 millones de decisiones. El programador informático John Koch ayudó a Appel y Haken en el trabajo algorítmico.

Appel y Haken afirmaron más tarde que el sistema “empezó a enseñarnos cosas sobre cómo proceder que nunca esperábamos”, y reconocieron que había “superado a sus creadores” en ciertas tareas intelectuales. El resultado abrió un debate sobre si una demostración demasiado extensa para que cualquier persona la compruebe puede considerarse matemática. Las reacciones no fueron en absoluto unánimes en su elogio. Herbert Wilf, de la Universidad de Pensilvania, dijo: “¡Dios no permitiría que el teorema se demostrara con un método tan terrible como ese!”. Paul Halmos, de la UC Santa Bárbara, escribió que “la demostración actual en realidad depende de un Oráculo, ¡y digo abajo los Oráculos!”.

La edad parecía influir en las actitudes. Tras una presentación del hijo de Haken, el público se dividió según se informó: “los mayores de 40 no podían convencerse de que una demostración por ordenador fuera correcta, mientras que los menores de 40 no podían convencerse de que una demostración que contenía 700 páginas de cálculos a mano fuera correcta”. Algunos críticos fueron aún más lejos. George Spencer-Brown, de la Universidad de Cambridge, calificó el asunto como “el caso más ridículo de ‘El traje nuevo del emperador’ que jamás ha deshonrado la historia de las matemáticas”.

La demostración sí obtuvo respaldos notables. Bill Tutte, que en su día había dudado del método asistido por ordenador, reconoció que había resuelto el problema y marcó la ocasión con un poema. El matemático alemán Heinrich Heesch aceptó la demostración, aunque a regañadientes, tras haber dedicado cuatro décadas al problema y desarrollado métodos algorítmicos clave que usaron ambos.

En juillet 1976, un mystère mathématique qui intriguait les mathématiciens depuis plus d'un siècle a enfin été résolu. Le théorème des quatre couleurs affirme qu'il suffit de quatre couleurs au maximum pour colorier les régions de n'importe quelle carte, de sorte que deux régions adjacentes ne partagent jamais la même couleur. Ses auteurs, Kenneth Appel et Wolfgang Haken, ont attribué le mérite à un collaborateur peu conventionnel : un ordinateur qui a accompli l'essentiel du travail, fonctionnant pendant 1 200 heures et prenant 10 milliards de décisions. Le programmeur informatique John Koch a aidé Appel et Haken dans le travail algorithmique.

Appel et Haken ont déclaré par la suite que le système « a commencé à nous apprendre des choses sur la manière de procéder que nous n'attendions pas », reconnaissant qu'il avait « surpassé ses créateurs » dans certaines tâches intellectuelles. Ce résultat a ouvert un débat : une démonstration si vaste qu'aucun humain ne peut la vérifier peut-elle être considérée comme des mathématiques ? Les réactions étaient loin d'être unanimement élogieuses. Herbert Wilf, de l'université de Pennsylvanie, a déclaré : « Dieu ne permettrait pas que ce théorème soit démontré par une méthode aussi terrible ! » Paul Halmos, de l'UC Santa Barbara, a écrit que « la présente démonstration repose en fait sur un Oracle, et je dis : à bas les Oracles ! »

L'âge semblait influencer les opinions. Après une présentation du fils de Haken, l'auditoire se serait divisé : « les plus de 40 ans ne pouvaient pas être convaincus qu'une démonstration par ordinateur était correcte, tandis que les moins de 40 ans ne pouvaient pas être convaincus qu'une preuve comportant 700 pages de calculs manuels pouvait être correcte. » Certains critiques sont allés plus loin. George Spencer-Brown, de l'université de Cambridge, a qualifié l'affaire de « cas le plus ridicule des « Habits neufs de l'empereur » ayant jamais déshonoré l'histoire des mathématiques ».

La démonstration a tout de même reçu des soutiens notables. Bill Tutte, qui avait autrefois douté de la méthode assistée par ordinateur, a reconnu qu'elle avait résolu le problème et a marqué l'occasion par un poème. Le mathématicien allemand Heinrich Heesch a accepté la preuve, bien que non sans réticence, lui qui avait consacré quatre décennies à ce problème et mis au point des méthodes algorithmiques clés utilisées par les deux auteurs.

जुलाई 1976 में एक गणितीय रहस्य आखिरकार सुलझ गया, जो एक सदी से भी अधिक समय से गणितज्ञों को उलझाए हुए था। चार रंगों का प्रमेय कहता है कि किसी भी मानचित्र के क्षेत्रों को इस तरह रंगने के लिए अधिकतम चार रंगों की आवश्यकता होती है कि कोई भी दो आसन्न क्षेत्र एक ही रंग के न हों। इसके लेखक केनेथ एपेल और वोल्फगैंग हेकेन ने इसका श्रेय एक असामान्य सहयोगी को दिया: एक कंप्यूटर, जिसने अधिकांश भारी काम किया, 1,200 घंटे तक चला और 10 अरब निर्णय लिए। कंप्यूटर प्रोग्रामर जॉन कोच ने एपेल और हेकेन को एल्गोरिदम संबंधी कार्य में सहायता दी।

एपेल और हेकेन ने बाद में कहा कि इस प्रणाली ने "हमें आगे बढ़ने के ऐसे तरीके सिखाने शुरू किए जिनकी हमने कल्पना भी नहीं की थी", और स्वीकार किया कि कुछ बौद्धिक कार्यों में यह "अपने रचनाकारों से आगे निकल गई" थी। इस परिणाम ने इस बहस को जन्म दिया कि क्या इतने विशाल प्रमाण को, जिसे कोई भी मनुष्य जाँच नहीं सकता, गणित माना जा सकता है। प्रतिक्रियाएँ सार्वभौमिक प्रशंसा से कोसों दूर थीं। पेंसिल्वेनिया विश्वविद्यालय के हर्बर्ट विल्फ ने कहा, "ईश्वर इस प्रमेय को इतनी भयानक विधि से सिद्ध नहीं होने देते!" यूसी सांता बारबरा के पॉल हैल्मोस ने लिखा कि "वर्तमान प्रमाण वस्तुतः एक ओरेकल पर निर्भर है, और मैं ओरेकलों का विरोध करता हूँ!"

उम्र भी दृष्टिकोण को प्रभावित करती प्रतीत हुई। हेकेन के बेटे की एक प्रस्तुति के बाद, श्रोताओं में मतभेद हो गया, ऐसा बताया गया: "40 से अधिक उम्र के लोग यह विश्वास नहीं कर सके कि कंप्यूटर द्वारा किया गया प्रमाण सही है, जबकि 40 से कम उम्र के लोग यह विश्वास नहीं कर सके कि 700 पृष्ठों की हाथ से की गई गणनाओं वाला प्रमाण सही हो सकता है।" कुछ आलोचक और आगे बढ़ गए। कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय के जॉर्ज स्पेंसर-ब्राउन ने इस प्रकरण को "गणित के इतिहास को कलंकित करने वाला 'राजा के नए वस्त्र' का सबसे हास्यास्पद उदाहरण" कहा।

प्रमाण को उल्लेखनीय समर्थन भी मिला। बिल ट्यूट, जिन्होंने कभी कंप्यूटर-सहायता प्राप्त पद्धति पर संदेह किया था, ने स्वीकार किया कि इसने समस्या हल कर दी है और इस अवसर को एक कविता से चिह्नित किया। जर्मन गणितज्ञ हाइनरिख हीश ने इस प्रमाण को स्वीकार किया, यद्यपि अनिच्छा से, क्योंकि उन्होंने इस समस्या पर चार दशक लगाए थे और वे प्रमुख एल्गोरिदमिक विधियाँ विकसित कर चुके थे जिनका उपयोग इन दोनों ने किया।

Pada Juli 1976, sebuah misteri matematika yang telah membingungkan para matematikawan selama lebih dari satu abad akhirnya terpecahkan. Teorema Empat Warna menyatakan bahwa paling banyak empat warna diperlukan untuk mewarnai wilayah pada peta mana pun sehingga tidak ada dua wilayah yang berdampingan memiliki warna yang sama. Penulisnya, Kenneth Appel dan Wolfgang Haken, memberi kredit kepada seorang rekan kerja yang tidak lazim: sebuah komputer yang mengerjakan sebagian besar pekerjaan berat, beroperasi selama 1.200 jam dan membuat 10 miliar keputusan. Programmer komputer John Koch membantu Appel dan Haken dalam pekerjaan algoritmik.

Appel dan Haken kemudian mengatakan bahwa sistem itu "mulai mengajari kami hal-hal tentang cara melangkah yang tidak pernah kami duga", dan mengakui bahwa dalam tugas intelektual tertentu, sistem itu "telah melampaui penciptanya". Hasil ini memicu perdebatan apakah sebuah bukti yang terlalu besar untuk diperiksa oleh manusia mana pun dapat dianggap sebagai matematika. Reaksinya jauh dari pujian yang bulat. Herbert Wilf dari University of Pennsylvania berkata, "Tuhan tidak akan membiarkan teorema ini dibuktikan dengan metode yang mengerikan seperti itu!" Paul Halmos dari UC Santa Barbara menulis bahwa "bukti saat ini pada dasarnya bergantung pada sebuah Oracle, dan saya katakan: tumbangkan Oracle!"

Usia tampaknya membentuk sikap. Setelah presentasi oleh putra Haken, hadirin dilaporkan terbelah: "mereka yang berusia di atas 40 tahun tidak dapat diyakinkan bahwa bukti oleh komputer itu benar, sementara mereka yang di bawah 40 tahun tidak dapat diyakinkan bahwa bukti yang memuat 700 halaman perhitungan manual itu benar." Beberapa kritikus bahkan lebih jauh. George Spencer-Brown dari Cambridge University menyebut peristiwa ini "kasus 'Pakaian Baru Sang Raja' yang paling konyol yang pernah mencoreng sejarah matematika".

Namun, bukti ini memperoleh dukungan yang berarti. Bill Tutte, yang pernah meragukan metode berbantuan komputer, mengakui bahwa metode itu telah memecahkan masalah tersebut dan menandai peristiwa itu dengan sebuah puisi. Matematikawan Jerman Heinrich Heesch menerima bukti itu, meski dengan enggan, setelah mencurahkan empat dekade untuk masalah ini dan mengembangkan metode algoritmik kunci yang digunakan keduanya.

1976年7月、一世紀以上にわたって数学者を悩ませてきた数学の謎がついに解かれました。四色定理は、どんな地図の領域も、隣り合う二つの領域が同じ色にならないように塗り分けるには、四色あれば十分であると述べています。著者のケネス・アッペルとヴォルフガング・ハーケンは、型破りな共同研究者の功績を認めました。それはコンピュータで、大部分の骨の折れる作業を担い、1,200時間稼働して100億回の判断を下しました。コンピュータプログラマーのジョン・コックは、アルゴリズムに関する作業でアッペルとハーケンを支援しました。

アッペルとハーケンは後に、このシステムが「私たちがまったく予想しなかった進め方を教え始めた」と述べ、特定の知的作業においては「創造者を超えた」ことを認めました。この結果は、人間が誰も検証できないほど膨大な証明を数学と呼べるのかという議論を巻き起こしました。反応は決して満場一致の称賛ではありませんでした。ペンシルベニア大学のハーバート・ウィルフは、「神はこの定理が、かくも恐ろしい方法で証明されることをお許しにならないだろう！」と述べました。カリフォルニア大学サンタバーバラ校のポール・ハルモスは、「現在の証明は実質的にオラクルに頼っている。私はオラクルに反対だ！」と書きました。

年齢が態度を左右したようです。ハーケンの息子による発表の後、聴衆は二分されたと伝えられています。「40歳以上の人々は、コンピュータによる証明が正しいとは納得できず、40歳未満の人々は、700ページに及ぶ手計算を含む証明が正しいとは納得できなかった」というのです。批判的な人々の中には、さらに踏み込んだ人もいました。ケンブリッジ大学のジョージ・スペンサー＝ブラウンは、この件を「数学史を汚してきた『裸の王様』の中でも最もばかげた事例」と呼びました。

もっとも、この証明は注目すべき支持も得ました。かつてコンピュータ支援の手法に疑問を抱いていたビル・テュットは、この手法が問題を解決したことを認め、その記念に詩を書きました。ドイツの数学者ハインリッヒ・ヘッシュは、四十年間この問題に取り組み、二人が用いた重要なアルゴリズム的手法を開発していたこともあり、しぶしぶながらも証明を受け入れました。

Em julho de 1976, um mistério matemático que intrigava os matemáticos havia mais de um século foi finalmente resolvido. O Teorema das Quatro Cores afirma que não são necessárias mais de quatro cores para colorir as regiões de qualquer mapa de modo que duas regiões adjacentes nunca compartilhem a mesma cor. Seus autores, Kenneth Appel e Wolfgang Haken, atribuíram o mérito a um colaborador pouco convencional: um computador que fez a maior parte do trabalho pesado, funcionando por 1.200 horas e tomando 10 bilhões de decisões. O programador de computadores John Koch ajudou Appel e Haken no trabalho algorítmico.

Appel e Haken disseram mais tarde que o sistema "começou a nos ensinar coisas sobre como proceder que nunca esperávamos", admitindo que ele havia "superado seus criadores" em determinadas tarefas intelectuais. O resultado abriu um debate sobre se uma demonstração tão extensa que nenhum ser humano pode verificá-la pode ser considerada matemática. As reações estavam longe de ser unanimemente elogiosas. Herbert Wilf, da Universidade da Pensilvânia, disse: "Deus não permitiria que o teorema fosse provado por um método tão terrível!". Paul Halmos, da UC Santa Bárbara, escreveu que "a presente prova depende, na prática, de um Oráculo, e eu digo abaixo os Oráculos!".

A idade pareceu moldar as atitudes. Após uma apresentação do filho de Haken, a plateia teria se dividido: "os maiores de 40 anos não puderam ser convencidos de que uma prova feita por computador estava correta, enquanto os menores de 40 não puderam ser convencidos de que uma prova com 700 páginas de cálculos manuais estava correta". Alguns críticos foram além. George Spencer-Brown, da Universidade de Cambridge, chamou o caso de "o mais ridículo exemplo de 'A Roupa Nova do Rei' que já desonrou a história da matemática".

A demonstração recebeu, ainda assim, endossos notáveis. Bill Tutte, que já havia duvidado do método auxiliado por computador, reconheceu que ele resolvera o problema e marcou a ocasião com um poema. O matemático alemão Heinrich Heesch aceitou a prova, embora relutantemente, após ter dedicado quatro décadas ao problema e desenvolvido métodos algorítmicos fundamentais usados pelos dois.

В июле 1976 года была наконец решена математическая загадка, над которой математики бились более века. Теорема о четырёх красках утверждает, что для раскраски областей любой карты достаточно не более четырёх цветов так, чтобы никакие две соседние области не имели одинакового цвета. Её авторы, Кеннет Аппель и Вольфганг Хакен, приписали заслугу необычному соавтору: компьютеру, который выполнил большую часть трудоёмкой работы, проработав 1200 часов и совершив 10 миллиардов решений. Программист Джон Кох помогал Аппелю и Хакену в алгоритмической работе.

Аппель и Хакен позже заявили, что система «начала учить нас тому, как действовать, чего мы никак не ожидали», признав, что в определённых интеллектуальных задачах она «превзошла своих создателей». Результат открыл дискуссию о том, может ли доказательство, настолько объёмное, что его не в силах проверить ни один человек, считаться математикой. Реакция была далеко не единодушно восторженной. Герберт Уилф из Пенсильванского университета сказал: «Бог не допустил бы, чтобы теорема была доказана столь ужасным методом!» Пол Халмос из Калифорнийского университета в Санта-Барбаре написал: «Нынешнее доказательство фактически опирается на Оракула, а я говорю: долой Оракулов!»

Возраст, по-видимому, определял отношение к результату. После выступления сына Хакена, как сообщалось, аудитория разделилась: «людей старше сорока не удавалось убедить в том, что доказательство, выполненное компьютером, верно, а людей моложе сорока не удавалось убедить в том, что доказательство, содержащее 700 страниц ручных вычислений, может быть верным». Некоторые критики пошли дальше. Джордж Спенсер-Браун из Кембриджского университета назвал эту историю «самым нелепым случаем «Нового платья короля», какой когда-либо позорил историю математики».

Тем не менее доказательство получило заметную поддержку. Билл Тatte, который когда-то сомневался в методе, основанном на компьютере, признал, что задача решена, и отметил это событие стихотворением. Немецкий математик Хайнрих Хеш принял доказательство, хотя и неохотно, ведь он четыре десятилетия посвятил этой проблеме и разработал ключевые алгоритмические методы, которыми пользовались оба автора.

1976年7月，一个困扰数学家一个多世纪的数学谜题终于被解开。四色定理指出，对于任何地图的区域进行着色，最多只需四种颜色，就能使相邻的两个区域不会使用相同的颜色。该定理的作者肯尼斯·阿佩尔和沃尔夫冈·哈肯，将功劳归于一位不同寻常的合作者：一台计算机。它承担了大部分繁重的运算工作，运行了1200小时，做出了100亿次判断。计算机程序员约翰·科赫协助阿佩尔和哈肯完成了算法方面的工作。

阿佩尔和哈肯后来表示，该系统“开始教我们一些我们从未预料到的推进方法”，并承认它在某些智力任务上“已经超越了它的创造者”。这一结果引发了一场争论：一个大到任何人都无法核查的证明，是否能被视为数学。然而，反响远非一片赞誉。宾夕法尼亚大学的赫伯特·威尔夫说：“上帝不会让这个定理用如此糟糕的方法被证明！”加州大学圣芭芭拉分校的保罗·哈尔莫斯则写道：“这个证明实际上依赖于一个神谕，我反对神谕！”

年龄似乎影响了人们的态度。据报道，在哈肯之子的一次演示之后，听众出现了分歧：“四十岁以上的人无法相信计算机证明是正确的，而四十岁以下的人则无法相信一个包含700页手工计算的证明是正确的。”一些批评者态度更为激烈。剑桥大学的乔治·斯宾塞-布朗称这一事件是“数学史上最荒谬的‘国王的新装’案例”。

该证明确实获得了一些重要的认可。比尔·图特曾经怀疑计算机辅助的方法，他承认该方法解决了这一问题，并以一首诗纪念这一时刻。德国数学家海因里希·黑什接受了这一证明，尽管态度勉强，因为他在这个问题上已经耗费了四十年，并且发展出了两人所使用的关键算法方法。